محيط ومساحة الأشكال الأساسية
| English | العربية |
|---|---|
| area/ˈeərɪə/ | مساحة |
| perimeter/pəˈrɪmɪtə/ | محيط |
| perpendicular height/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə haɪt/ | الارتفاع العمودي |
كم حجم حديقتك؟
- يتوقع وكلاء العقارات مساحة الأرض بالمتر المربع. شقة "50 م²" هي whose floor covers 50 squares, each 1 m on a side.
- إيجاد المساحة هو واحد من أكثر الأشياء عملية التي تقوم بها الرياضيات — ويبدأ بضع معادلات رئيسية.
مختبر قياس مساحات الأشكال
المساحة = طول الضلع^2
غيّر طول الضلع ولاحظ为何 تنمو المساحة تربيعياً.
المحيط
- المحيط = المسافة حول الحافة الخارجية للشكل بالكامل.
- مستطيل: $P = 2(\text{length} + \text{width})$.
مستطيل $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$: $P = 2(8 + 5) = 26\text{ cm}$.
مساحة الأشكال الأساسية؛ $b$ هو القاعدة، $h$ الارتفاع العمودي، و$a$، $b$ الأضلاع المتوازية للشبه المنحرف
مستطيل أبعاده 8 سم بـ5 سم. أوجد محيطه (سم).
المحيط = 2(8 + 5) = 26 سم.
صل كل شكل بقانون مساحته.
لكل شكل قاعدة خاصة به؛ شبه المنحرف يأخذ متوسط الضلعين المتوازيين.
معادلات المساحة
| الشكل | المساحة | ملاحظات |
|---|---|---|
| مستطيل | $\text{length} \times \text{width}$ | |
| مثلث | $\dfrac{1}{2} \times b \times h$ | $h$ هو الارتفاع العمودي |
| متوازي الأضلاع | $b \times h$ | $h$ هو الارتفاع العمودي |
| شبه منحرف | $\dfrac{1}{2}(a+b)h$ | $a, b$ هما الضلعان المتوازيان |
الارتفاع العمودي، ليس الارتفاع المائل. للمثلثات ومتوازي الأضلاع، يجب قياس $h$ بزاوية قائمة مع القاعدة. استخدام الضلع المائل يعطي إجابة خاطئة.
أجسام صلبة شائعة والأبعاد المستخدمة في معادلات الحجم ومساحة سطحها
مثلث قاعدته 10 سم وارتفاعه 6 سم. أوجد مساحته (سم²).
½ × 10 × 6 = 30 سم².
متوازي أضلاع قاعدته 12 سم وارتفاعه العمودي 7 سم. أوجد مساحته (سم²).
المساحة = القاعدة × الارتفاع = 12 × 7 = 84 سم².
في قانون مساحة المثلث، h هو الارتفاع المائل للمثلث.
يجب أن يكون h هو الارتفاع العمودي (بزاوية 90° مع القاعدة)، وليس الضلع المائل.
مستطيل أبعاده 8 سم بـ5 سم. أوجد مساحته (سم²).
المساحة = الطول × العرض = 8 × 5 = 40 سم².
مثال محلل — شبه منحرف
- الأضلاع المتوازية $6\text{ cm}$ و$10\text{ cm}$، الارتفاع $4\text{ cm}$.
- المساحة $= \dfrac{1}{2}(6+10) \times 4 = \dfrac{1}{2} \times 16 \times 4 = 32\text{ cm}^2$.
مساحة المثلث تستخدم الارتفاع العمودي — الارتفاع عند $90^{\circ}$ مع القاعدة، وليس الضلع المائل.
شبه منحرف له ضلعان متوازيان بطول 6 سم و10 سم، وارتفاعه 4 سم. أوجد مساحته (سم²).
½(6 + 10) × 4 = ½ × 16 × 4 = 32 سم².
لماذا تعمل معادلة المثلث؟
- أي مثلث يساوي بالضبط نصف متوازي أضلاع له نفس القاعدة والارتفاع.
- ولهذا السبب يحتوي القانون على $\dfrac{1}{2}$ — لأنه نصف مساحة متوازي الأضلاع.
لقد فهمت الأمر
- مساحة مستطيل $= l \times w$؛ مثلث $= \dfrac{1}{2}bh$؛ متوازي أضلاع $= bh$
- شبه منحرف $= \dfrac{1}{2}(a+b)h$ ($a, b$ هما الضلعان المتوازيان)
- $h$ هو دائمًا الـ عمودي ارتفاع