انحدار أقل مربعات
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| least-squares line/liːst skweəz laɪn/ | خط أقل مربعات |
| coefficient of determination/ˌkəʊɪˈfɪʃənt ɒv dɪˌtɜːmɪˈneɪʃn/ | معامل التحديد |
لماذا "المربعات الصغرى"؟
- يمكن لعدد من الخطوط المرور عبر سحابة النقاط — أيهما الأفضل؟
- خط المربعات الصغرى هو الذي يجعل مجموع مربعات البواقي أصغر ما يمكن.
- التربيع يحافظ على الأخطاء موجبة ويعاقب الانحرافات الكبيرة بقسوة إضافية.
- تقليل هذا المجموع الكلي هو ما يحدد ميل التقدير الأمثل والمقطع الصادي الفريد.
r-squared: التباين المفسر
- معامل التحديد $r^2$ هو الكسر الممثل للتباين في $y$ المفسر بواسطة النموذج.
- إنه حرفيًا مربع معامل الارتباط، لذا $0 \le r^2 \le 1$.
- $r^2 = 0.64$ تعني "$64\%$ من التباين في $y$ يتم تفسيره بالعلاقة الخطية مع $x$".
- الباقي ($36\%$) ناتج عن عوامل أخرى والتشتت.
s: متوسط خطأ التنبؤ
- الانحراف المعياري للبواقي $s$ هو متوسط حجم خطأ التنبؤ.
- يقاس بوحدات $y$: "التنبؤات عادةً ما تنحرف بمقدار $s$ تقريبًا."
- صغر $s$ = تطابق محكم؛ كبر $s$ = تنبؤات أوسع انتشارًا.
- $s$ يجيب عن "كم الانحراف بالوحدات الحقيقية؟" بينما $r^2$ يجيب عن "ما الكسر المفسر؟"
الميل من إحصائيات الملخص
- يمكنك بناء الخط من إحصائيات الملخص دون الحاجة للبيانات الخام:
- الميل: $b = r\dfrac{s_y}{s_x}$ — correlation مضروبة في نسبة الانتشار.
- 截距：直线总是穿过$(\bar{x}, \bar{y})$，因此$a = \bar{y} - b\bar{x}$。
- هذان المعادلان يستردان $\hat{y} = a + bx$ من $r$، والمتوسطات والانحرافات المعيارية.
لا تخلط بين العددين الملائمين. $r^2$ هو كسر بلا وحدة ("$64\%$ من التباين المفسر"); $s$ هو خطأ نموذجي بوحدة $y$ ("انحراف بمقدار $s$ تقريباً"). وعند حساب الميل، انتبه للترتيب: $b = r\,s_y/s_x$ — فهو $s_y$ (تشتت الاستجابة) على $s_x$ (تشتت التفسير)، وليس العكس.
لدينا نموذج بتطابق $r = 0.8$، $s_x = 2$، $s_y = 10$، $\bar{x}=5$، $\bar{y}=60$.
- الميل: $b = 0.8 \times \dfrac{10}{2} = 4$.
- المقطع الصادي: $a = 60 - 4(5) = 40$، لذا $\hat{y} = 40 + 4x$.
- $r^2 = 0.64$: $64\%$ من التباين في $y$ مفسر بواسطة النموذج.
خط المربعات الصغرى يقلل مجموع مربعات البواقي. $r^2$ هو الكسر الممثل للتباين في $y$ المفسر (بدون وحدات، $0$–$1$)؛ $s$ هو متوسط خطأ التنبؤ (بوحدات $y$). من إحصائيات الملخص، $b = r\dfrac{s_y}{s_x}$ والخط يمر عبر $(\bar{x}, \bar{y})$.
الخط الأنسب لأقل مربعات
الخط الذي يجعل مجموع الفجوات العمودية المربعة أصغر.
مع r = 0.8، s_x = 2، s_y = 10، أوجد الميل b = r·(s_y/s_x).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
b = 0.8 × (10/2) = 0.8 × 5 = 4.
إذا كان معامل الارتباط r = 0.8، فما هو r-squared؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
r² = 0.8² = 0.64.
r² = 0.64 يُفسر بشكل أفضل على أنه...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
r² هو الكسر من تباين y المشروح.
خط أقل مربعات يقلل مجموع مربعات البواقي.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
هذا بالضبط المعيار الذي يعرفه.
أي كمية هي خطأ تنبؤ نموذجي، مقاسة بوحدات y؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
s بوحدة y؛ r² و r بلا وحدات.