الإحصاءات الوصفية للمتغير الكمي
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| mean/miːn/ | المتوسط الحسابي |
| median/ˈmiːdiːən/ | الوسيط |
| Range/reɪndʒ/ | المدى |
| Standard deviation/ˈstændəd ˌdiːvɪˈeɪʃn/ | انحراف معياري |
| resistant/rɪˈzɪstənt/ | مقاوم |
الأرقام التي تلخص البيانات
- الرسم البياني يظهر الشكل؛ الإحصاءات الملخصة تُختصر التوزيع في عدد قليل من الأرقام الرئيسية.
- مهمتان: قياس المركز (قيمة ممثلة) والتشتت (مدى التقلب).
- يعتمد نوع الأرقام المستخدمة على الشكل — خاصة إذا كانت هناك قيم متطرفة.
- هذه الملخصات هي العمود الفقري لكل استنتاج لاحق.
مقاييس المركز
- المتوسط الحسابي $\bar{x}$ هو المتوسط الحسابي: اجمع كل القيم واقسم على عددها.
- الوسيط هو القيمة الوسطى عند ترتيب البيانات (أخذ متوسط القيمتين الوسطيين إذا كان العدد زوجيًا).
- بالنسبة للتوزيع المتماثل تكون قريبة من بعضها؛ أما في التوزيع المائل فتختلف.
- يتم سحب المتوسط نحو الذيل الطويل؛ بينما يبقى الوسيط ثابتًا.
مركز البيانات وتشتتها
يشير المتوسط والوسيط إلى المركز؛ بينما يقيس المدى، ومربيع الوسط، والانحراف المعياري التشتت.
أوجد وسيط $4, 5, 6, 7, 100$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
القيمة الوسطى للبيانات المرتبة هي $6$.
في $4,5,6,7,100$، يُسحب المتوسط ($24.4$) نحو الأعلى بسبب القيمة $100$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المتوسط حساس للقيم المتطرفة.
مقاييس التشتت
- المدى = الحد الأقصى − الحد الأدنى (بسيط، لكنه حساس للقيم المتطرفة).
- IQR (المدى الربيعي) $=Q_3-Q_1$ — وهو تشتت الوسط $50\%$.
- الانحراف المعياري $s_x$ — المسافة النموذجية للقيم عن المتوسط الحسابي.
- كلما كانت أرقام التشتت أكبر، زادت التباين.
لمجموعة بيانات بها $Q_1=5$ و$Q_3=7$، أوجد المدى الربيعي.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\text{IQR}=Q_3-Q_1=7-5=2$.
المقاييس المقاومة والحساسة
- الوسيط وIQR هما مقاومان — حيث لا تتحرك كثيرًا بسبب القيم المتطرفة.
- المتوسط والانحراف المعياري هما حساسان — حيث يمكن لقيمة متطرفة واحدة أن تُغيرهما بشكل كبير.
- لذا، بالنسبة للبيانات المائلة أو التي تحتوي على قيم متطرفة، يُنصح بالإبلاغ عن الوسيط و IQR.
- قاعدة القيم المتطرفة: تُعتبر القيمة متطرفة إذا كانت أقل من $Q_1-1.5\times\text{IQR}$ أو أعلى من $Q_3+1.5\times\text{IQR}$.
أي المقاييس المقاومة للخلفيات المتطرفة؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الموسط ومربيع الوسط يقومان بمقاومة الخلفيات المتطرفة؛ أما المتوسط والانحراف المعياري فلا يفعلان ذلك.
وفقًا لقاعدة $1.5\times\text{IQR}$، فإن الخلفية المتطرفة العالية هي أي قيمة تتجاوز...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المقياس المستخرج من الربيع: $Q_3+1.5\,\text{IQR}$.
بالنسبة للبيانات ذات الانحياز القوي، أفضل ملخص للمركز/التشتت هو...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المقاييس المقاومة مناسبة للبيانات المنحازة.
طابق الملخص مع الشكل: بالنسبة للبيانات المائلة أو وجود قيم متطرفة، استخدم الوسيط وIQR المقاوم — لأن المتوسط والانحراف المعياري يسحبهما الطرف. وقاعدة $1.5\times\text{IQR}$ تقيس من الربيعيات ($Q_1,Q_3$)، وليس من المتوسط: ضع علامة على القيم الأقل من $Q_1-1.5\,\text{IQR}$ أو الأعلى من $Q_3+1.5\,\text{IQR}$.
البيانات: $4, 5, 6, 7, 100$.
- المتوسط $=\tfrac{4+5+6+7+100}{5}=24.4$ (مسحوب لأعلى بواسطة $100$). الوسيط $=6$ (غير متأثر).
- الوسيط ($6$) يمثل أفضل قيمة معتادة هنا.
- مع $Q_1=5$، $Q_3=7$، $\text{IQR}=2$: $100>7+1.5(2)=10$، لذا فإن $100$ يُعدّ قيمة شاذة.
لخص الوسط باستخدام المتوسط $\bar{x}$ أو الوسيط، والتشتت باستخدام المدى، IQR $=Q_3-Q_1$، أو الانحراف المعياري $s_x$. الوسيط و IQR مقاومان للقيم المتطرفة؛ أما المتوسط والانحراف المعياري ليسا كذلك — لذا('يُفضلاهما') للبيانات المائلة. ضع علامات على القيم المتطرفة باستخدام قاعدة $1.5\times\text{IQR}$.