الدوران بدون انزلاق
سباق على منحدر: أي عجلة تفوز؟
- دحرج قرصًا صلبًا وحلقة مجوفة على نفس المنحدر. يبدأان معًا — لكن القرص يفوز دائمًا.
- الجسم الدحرج يقوم بشئيين في وقت واحد: التحرك للأمام والدوران.
- طاقته مقسومة بين الاثنين، ويعتمد التقسيم على الشكل.
- فهم هذا التقسيم هو مفتاح حركة الدحرج.
نوعان من الطاقة الحركية في آن واحد
- الجسم الدحرج له طاقة حركية انتقالية $\tfrac12 mv^2$ و طاقة حركية دورانية $\tfrac12 I\omega^2$.
- طاقته الحركية الكلية هي المجموع: $E_k = \tfrac12 mv^2 + \tfrac12 I\omega^2$.
- الدحرج دون انزلاق يربط الاثنين عبر $v = r\omega$.
- الطاقة المنطلقة (مثلاً من منحدر) يجب أن تمتلئ كلا الحسابين.
الطاقة الحركية الكلية لجسم دوار هي:
الجسم الدوار يتحرك ويدور، لذا تكون طاقته الحركية مجموع $\tfrac12 mv^2 + \tfrac12 I\omega^2$.
يربط الدوران بدون انزلاق بين السرعة الخطية والزاوية عبر $v = r\_\_$ (أدخل الرمز).
$v = r\omega$ يربط بين سرعة التحرك وسرعة الدوران.
لماذا يفوز القرص الصلب
- الحلقة لديها قصور ذاتي دوار أكثر، لذا تذهب المزيد من طاقتها إلى الدوران.
- ذلك يترك طاقة أقل لـ الحركة، لذا تتسارع الحلقة لأسفل المنحدر بشكل أبطأ.
- القرص الصلب يحتفظ بالمزيد من الطاقة للانتقال ويصل إلى الأسفل أولاً.
- الشكل يحدد السباق، وليس الوزن — قرسان بنفس الشكل ولكن بأوزان مختلفة يتساويان.
قرص صلب وحلقة مجوفة بنفس الكتلة ونصف القطر تدوران على منحدر. أيهما يصل إلى الأسفل أولاً؟
الحلقة لها عزم قصور ذاتي أكبر، لذا تذهب طاقة أكثر للدوران، مما يترك أقل للتحرك — القرص يفوز.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول جسم يدور بدون انزلاق.
الدوران يجمع بين التحرك والدوران، يخضع لـ $v = r\omega$، ولديه نقطة تماس ساكنة لحظياً — لكن ليس كل طاقته دورانية.
نقطة الاتصال ساكنة لحظيًا
- في الدحرج دون انزلاق، النقطة التي تلمس الأرض تكون ساكنة لحظيًا.
- المركز يتحرك بسرعة $v$، وقمة العجلة تتحرك بسرعة $2v$.
- نظرًا لأن نقطة الاتصال لا تنزلق، فإن الاحتكاك الساكن يعمل — ولا يبذل شغلًا.
- هذا هو السبب في أن العجلة الدارة تفقد طاقة قليلة جدًا مقارنة بمكعب منزلق.
دوران بدون انزلاق
بالنسبة لعجلة تدور بدون انزلاق، v = rω. رتب كل حالة.
بالنسبة لعجلة تدور بدون انزلاق، النقطة الملامسة للأرض تكون ساكنة لحظياً.
نقطة التماس يكون لها صفر سرعة في تلك اللحظة؛ الأعلى يتحرك بسرعة $2v$.
طاقة جسم دارة ليست مجرد $\tfrac12 mv^2$. يجب أن تضيف الجزء الدوراني $\tfrac12 I\omega^2$. نسيان حد الدوران يعطي سرعة كبيرة جدًا في أسفل المنحدر — خطأ شائع جدًا.
قرص صلب ($I = \tfrac12 mR^2$) يدور بدون انزلاق. ما الكسر الذي يمثل طاقته الحركية الدورانية؟ (أعطِ رقماً عشرياً.)
دوران $= \tfrac14 mv^2$، انتقال $= \tfrac12 mv^2$؛ كسر $= \tfrac{1/4}{3/4} = \tfrac13 \approx 0.33$.
قرص صلب ($I = \tfrac12 mR^2$) يدحرج دون انزلاق بسرعة $v$. ما الكسر من طاقته الحركية الذي هو دوراني؟
- دوراني: $\tfrac12 I\omega^2 = \tfrac12(\tfrac12 mR^2)(v/R)^2 = \tfrac14 mv^2$.
- انتقالي: $\tfrac12 mv^2$. لذا الدوارني هو $\tfrac{1/4}{1/4 + 1/2} = \tfrac13$ من الإجمالي.
الجسم الدارح له كلًا من الطاقة الحركية الانتقالية $\tfrac12 mv^2$ والطاقة الحركية الدورانية $\tfrac12 I\omega^2$، مرتبطة بـ $v = r\omega$. الأجسام ذات القصود الذاتي الدوائي الأعلى تضع المزيد من الطاقة في الدوران، لذا تدحرج على منحدر ببطء. نقطة الاتصال ساكنة لحظيًا، لذا الاحتكاك الدارح لا يبذل شغلًا.