متسلسلة هارمونيك ومتسلسلات p
| English | العربية |
|---|---|
| harmonic series/hɑːˈmɒnɪk ˈsɪəriːz/ | السلسلة التوافقية |
| p-series/piː ˈsɪəriːz/ | سلسلة p |
عائلة كاملة من حالات الاختبار
- تظهر متسلسلتان مرتبطتان غالباً لدرجة أن لهما اسم وقاعدة تقارب بسيطة.
- المتسلسلة التوافقية هي $\sum\tfrac1n=1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$.
- متسلسلة باي p- تعميم لها: $\sum\tfrac1{n^p}$ لأس ثابت $p$.
- عتبة واحدة نظيفة على $p$ تحسم التقارب لكل العائلة.
قاعدة متسلسلة باي
- $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}}$ تتقارب إذا $p>1$ وتتباعد إذا $p\le 1$.
- كلما كبرت $p$، انكمشت الحدود أسرع — بما يكفي للتقارب بمجرد تجاوز $p$ لـ$1$.
- هذا يتبع مباشرة من اختبار التكامل على $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$.
- احفظ العتبة: نقطة القطع هي بالضبط $p=1$.
بأي سرعة تتناقص الحدود؟
تتقارب متسلسلة p فقط إذا كانت حدودها $\tfrac1{n^p}$ تتناقص بسرعة كافية — العتبة هي بالضبط $p>1$.
تتقارب متسلسلة p $\sum\tfrac1{n^p}$ فقط عندما...
تتقارب إذا وفقط إذا $p>1$.
حد التقارب لمتسلسلة p هو بالضبط $p=$ ____.
تتقارب من أجل $p>1$، وتتباعد من أجل $p\le1$.
المتسلسلة التوافقية هي الحد الفاصل
- المتسلسلة التوافقية هي حالة $p=1$ — و$p=1$ تتباعد.
- حدودها $\tfrac1n\to0$، ومع ذلك ينمو المجموع بلا حدود (ببطء، ولكن للأبد).
- إنه المثال الكلاسيكي "حدود تتناقص لكن المتسلسلة تتباعد nonetheless".
- $p=1$ تقع بالضبط على الجانب الخاطئ من نقطة القطع.
المتسلسلة الهارمونية $\sum\tfrac1n$ ($p=1$)...
$p=1$ تتباعد، حتى إن كان الحد $\to0$.
يُظهر المتسلسلة التوافقية أن الحدود الممثلة لـ $0$ لا تضمن التقارب.
حدودها $\to0$ ومع ذلك فهي تتباعد.
فحوصات التقارب الفورية
- اعرف متسلسلة باي وتتجاوز كل العمل — فقط قارن $p$ مع $1$.
- $\sum\tfrac1{n^2}$: $p=2>1$ → تتقارب. $\sum\tfrac1{\sqrt n}=\sum\tfrac1{n^{1/2}}$: $p=\tfrac12\le1$ → تتباعد.
- هذه أيضاً المتسلسلات القياسية للمقارنة لاختبارات المقارنة (الدرس القادم).
- معرفة متسلسلة باي عن كثب تسرع جزءاً كبيراً من مسائل المتسلسلات.
حدد جميع المتسلسلات المتقاربة.
$p=2,3>1$ تتقارب؛ $p=\tfrac12,1$ تتباعد.
$\sum\tfrac1{\sqrt n}$ هي متسلسلة p بـ $p=\tfrac12$. إنها...
$p=\tfrac12\le1$ → يتباعد.
نقطة القطع صارمة: $\sum\tfrac1{n^p}$ تتقارب فقط من أجل $p>1$. الحالة الحدية $p=1$ (التوافقية) تتباعد — فخ شائع جداً، لأن حدودها فعلاً تؤول إلى $0$. و$\sum\tfrac1{\sqrt n}$ هو $p=\tfrac12$، وهو يتباعد (لا يتقارب) — أس كسري أقل من $1$.
صنف كل متسلسلة.
- $\sum\tfrac1{n^3}$: $p=3>1$ → تتقارب.
- $\sum\tfrac1{n}$: $p=1$ → تتباعد (توافقية).
- $\sum\tfrac1{n^{0.9}}$: $p=0.9\le1$ → تتباعد.
متسلسلة باي $\sum\tfrac1{n^p}$ تتقارب إذا وفقط إذا $p>1$؛ وهي تتباعد من أجل $p\le1$. المتسلسلة التوافقية هي حالة $p=1$، وهي تتباعد رغم أن حدودها تؤول إلى $0$. التعرف على متسلسلة باي يعطي حكماً فورياً بالتقارب.