اختبارات المقارنة للتقارب
| English | العربية |
|---|---|
| comparison tests/kəmˈpærɪsn tests/ | اختبارات المقارنة |
الحكم على متسلسلة بناءً على جاور معروف
- إذا بدت متسلسلة غامضة وكأنها متسلسلة تفهمها بالفعل، فقارنها بها.
- اختبارات المقارنة تقيس متسلسلة موجبة مجهولة مقابل واحدة معروفة (عادة متسلسلة باي أو متسلسلة هندسية).
- أكبر مما يتباعد → تتباعد. أصغر مما يتقارب → تتقارب.
- نوعان: مقارنة مباشرة ومقارنة حدية.
اختبار المقارنة المباشر
- للحدود الموجبة مع $0\le a_n\le b_n$:
- إذا كانت $\sum b_n$ متقاربة، فإن الأصغر $\sum a_n$ تتقارب أيضاً.
- إذا كانت $\sum a_n$ متباعدة، فإن الأكبر $\sum b_n$ تتباعد أيضاً.
- احشر من الجانب الأيمن: محصورة فوق بمتسلسلة متقاربة، أو تحت بمتسلسلة متباعدة.
المقارنة بمتسلسلة معروفة
المتسلسلة الموجودة المحدودة بمتسلسلة متقاربة (أو متباعدة) معروفة تشارك مصيرها — اختر المقارنة السائدة.
إذا $0\le a_n\le b_n$ و$\sum b_n$ تتقاربان، فإن $\sum a_n$...
أصغر من متسلسلة متقاربة → تتقارب.
تتطلب اختبارات المقارنة حدوداً موجبة.
إنها تقارن مقادير المتسلسلات الموجبة.
اختبار المقارنة الحدية
- أحياناً تكون المتباينات محرجة؛ بدلاً من ذلك قارن معدلات النمو.
- خذ $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}$. إذا كانت $L$ رقماً موجباً محدوداً ($0
- اختر $b_n$ من الحدود السائدة في $a_n$ (مثلاً قارن $\tfrac{n}{n^3+1}$ مع $\tfrac1{n^2}$).
- كون الحد موجباً ومحدوداً يعني أنهما يتصرفان بنفس الطريقة.
في اختبار المقارنة بالنهاية، إذا $\lim\tfrac{a_n}{b_n}=L$ مع $0
نهاية موجودة وموجبة → نفس سلوك التقارب.
لكي يستنتج اختبار المقارنة بالنهاية، يجب أن تكون النهاية $L$ محدودة و____.
يُشترط $0
اختيار متسلسلة المقارنة
- انظر إلى السلوك السائد لـ$a_n$ عند كبر $n$ — أعلى القوى في البسط والمقام.
- $\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$ تتصرف مثل $\dfrac{3n^2}{n^4}=\dfrac{3}{n^2}$ — قارنها بمتسلسلة باي $\tfrac1{n^2}$.
- ثم إما أحصرها مباشرة أو خذ نسبة الحدود.
- متسلسلة المقارنة الصحيحة تحول متسلسلة مرعبة إلى واحدة معروفة.
لفحص $\sum\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$، فإن متسلسلة المقارنة الجيدة هي...
السلوك السائد $\tfrac{3n^2}{n^4}=\tfrac{3}{n^2}$ → قارن مع $\tfrac1{n^2}$.
بما أن $\tfrac{1}{n^2+1}<\tfrac1{n^2}$ و$\sum\tfrac1{n^2}$ تتقاربان، فإن $\sum\tfrac{1}{n^2+1}$...
محدودة من الأعلى بمتسلسلة متقاربة → تتقارب.
تحتاج اختبارات المقارنة إلى حدود موجبة. بالنسبة لـالمقارنة المباشرة، يجب أن تشير المتباينة بالاتجاه الصحيح: لإثبات التقارب، احصر فوق بمتسلسلة متقاربة؛ لإثبات التباعد، احصر تحت بمتسلسلة متباعدة. بالنسبة لـالمقارنة الحدية، يجب أن يكون الحد $L$ محدوداً وموجباً ($0
هل $\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^2+1}$ تتقارب؟
- لكبر $n$، يتصرف $\dfrac{1}{n^2+1}$ مثل $\dfrac{1}{n^2}$ (متسلسلة باي متقاربة).
- مباشر: $\dfrac{1}{n^2+1}<\dfrac{1}{n^2}$، و$\sum\tfrac1{n^2}$ تتقارب → لذا تتقارب المتسلسلة الأصغر.
- لذلك $\sum\dfrac{1}{n^2+1}$ تتقارب.
تقيس اختبارات المقارنة متسلسلة موجبة مقابل واحدة معروفة. مباشر: احصر فوق بمتسلسلة متقاربة (→ تتقارب) أو تحت بمتسلسلة متباعدة (→ تتباعد). حدّي: إذا كان $\lim\frac{a_n}{b_n}$ محدوداً وموجباً، يشاركان نفس المصير. اختر $b_n$ من الحدود السائدة في $a_n$.