اختبار المتسلسلة المتناوبة للتقارب
| English | العربية |
|---|---|
| alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/ | السلسلة المتناوبة |
متسلسلات تنعكس إشاراتها
- بعض المتسلسلات تتناوب الإشارات: $+,-,+,-,\dots$، مثل $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$.
- هذه متسلسلات متناوبة، ولها اختبار تقارب خاص بها وناعم.
- انعكاس الإشارات يسمح للحدود بالإلغاء الجزئي، لذا تتقارب المتسلسلات المتناوبة بسهولة أكبر.
- اختبار واحد بشروط بسيطة يتعامل معها.
اختبار المتسلسلة المتناوبة
- متسلسلة متناوبة $\sum(-1)^n b_n$ (مع $b_n>0$) تتقارب إذا كلا:
- 1. تتناقص الحدود: $b_{n+1}\le b_n$، و
- 2. تنكبر الحدود إلى الصفر: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0$.
- إذا تحقق الشرطان معاً، فإن المتسلسلة المتناوبة متقاربة. الأمر بسيط كهذا.
حدود متناوية متناقصة
إذا كان الجزء الموجد ينقص إلى $0$، فإن تبديل الإشارة يسمح لمجموع جزئي أن يقترب — المتسلسلة تتقارب.
يتطلب اختبار المتسلسلة المتناوبة أن تكون الحدود الموجدة $b_n$ أي؟
متناقص والحد $0$.
لماذا تساعد التبادلات الإشارية
- كل حد جديد أصغر من السابق وعكسه في الإشارة، لذا يلغي جزءاً مما سبقه.
- مجموع جزئي يتذبذب، ولكن بمقدار متناقص — مقترباً من حد معين.
- لهذا السبب $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ تتقارب، رغم أن $1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$ (المتسلسلة التوافقية) متباعدة.
- التبديل هو ما يُطهيع حدود المتسلسلة التوافقية.
المتسلسلة التوافقية المتناوبة $\sum\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}$...
$b_n=\tfrac1n$ تنقص إلى $0$ → تتقارب.
الإشارة ____ تسمح لمجموع جزئي أن يقترب من نهاية.
التناوب يسبب إلغاء جزئي.
$\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ تتقارب حتى وإن كانت $\sum\tfrac1n$ تتباعد.
التناوب يُهدئ حدود التوافقية.
تطبيقها بوضوح
- استبعد $(-1)^n$ وتحقق من الجزء الموجب $b_n$ للشرطين.
- هل $b_n$ متناقصة؟ هل $b_n\to0$ كذلك؟ إذا كان الجواب نعم لكلا الشرطين، فهي متقاربة.
- إذا لم يؤول $b_n$ إلى $0$، فإن المتسلسلة متباعدة (باستخدام اختبار الحد n بدلاً منه).
- الاختبار سريع بمجرد عزل $b_n$.
تتحقق الشرطين على الجزء الموجد $b_n$ بعد إزالة $(-1)^n$.
عزل $b_n$ أولاً.
إذا $b_n\not\to0$ لمتسلسلة متناوبة، فإنها...
حدود غير $\to0$ → تتباعد بغض النظر عن التناوب.
طبق الشرطين على الحدود الموجبة $b_n$ (بعد إزالة $(-1)^n$). كلاهما مطلوب: متناقصة و limit $0$. إذا $b_n\not\to0$، فإن المتسلسلة متباعدة (اختبار الحد n). وهذا الاختبار يثبت تقارب المتسلسلة المتناوبة؛ ولا يقول شيئاً عن $\sum b_n$ أو $\sum|a_n|$ (انظر التقارب المطلق مقابل المشروط، الدرس 10.9).
هل المتسلسلة التوافقية المتناوبة $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$ تتقارب؟
- الجزء الموجب $b_n=\tfrac1n$. متناقصة؟ نعم، $\tfrac1{n+1}<\tfrac1n$. Limit $0$؟ نعم، $\tfrac1n\to0$.
- يتحقق الشرطان معاً، لذا المتسلسلة تتقارب باختبار المتسلسلة المتناوبة.
- (رغم أن المتسلسلة التوافقية العادية متباعدة).
اختبار المتسلسلة المتناوبة: $\sum(-1)^n b_n$ (مع $b_n>0$) تتقارب إذا كانت الحدود $b_n$ متناقصة و$b_n\to0$. تحقق من الشرطين على الجزء الموجب $b_n$. التبديل يسمح لمتسلسل مثل $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ بالتقارب حيث تبعد النسخة غير المتناوبة.