اختبار النسبة للتقارب
| English | العربية |
|---|---|
| Ratio Test/ˈreɪʃɪəʊ test/ | اختبار النسبة |
مقارنة الحد بما قبله
- عندما تتضمن الحدود مضروباً أو $n$ powers، تكون المقاربات صعبة. استخدم اختبار النسبة بدلاً من ذلك.
- ينظر إلى كيفية مقارنة كل حد بالسابق له — النسبة $\big|\tfrac{a_{n+1}}{a_n}\big|$ — في النهاية.
- نسبة تستقر أسفل $1$ تعني انكماش حدودي بسرعة هندسية، مما يفرض التقارب.
- هو الاختيار الأول للمضروبات والأسيات.
الاختبار
- احسب $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$.
- $L<1$: المتسلسلة تتقارب (مطلقاً).
- $L>1$ (أو $L=\infty$): المتسلسلة تتباعد.
- $L=1$: الاختبار غير حاسم — استخدم اختباراً آخر.
نسبة أقل من 1 تفرض التقارب
إذا استقرت نسبة الحدود المتتالية تحت $1$، تنقص الحدود بسرعة هندسية — المتسلسلة تتقارب.
في اختبار النسبة، إذا $L=\lim|a_{n+1}/a_n|<1$، فإن المتسلسلة...
$L<1$ → تتقارب.
يستخدم اختبار النسبة القيمة المطلقة لنسبة الحدود المتتالية.
$L=\lim|a_{n+1}/a_n|$.
المضروبات والأسيات تحب اختبار النسبة
- المضروبات تختزل بشكل رائع: $\dfrac{(n+1)!}{n!}=n+1$ — النسبة تتبسط بشكل هائل.
- نفس الشيء لـ $n$ powers الثابت: $\dfrac{r^{n+1}}{r^n}=r$.
- لذا متسلسل مثل $\sum\tfrac{2^n}{n!}$ أو $\sum\tfrac{n!}{n^n}$ هي مسائل طبيعية لاختبار النسبة.
- اكتب $\tfrac{a_{n+1}}{a_n}$، اختصر، وخذ النهاية.
إذا أعطى اختبار النسبة $L=1$، فإن...
$L=1$ لا تعطي أي معلومات.
من أجل $a_n=\tfrac{2^n}{n!}$، $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=$
$\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\frac{2}{n+1}$.
يعمل اختبار النسبة بشكل خاص للمتسلسلات ذات...
تعطي متسلسلات p $L=1$ (غير مفيدة)؛ بينما العواميل/الأسيات تُبسّط بشكل جميل.
منطقة الوفاة $L=1$
- عندما $L=1$، يعطي اختبار النسبة لا معلومات — قد تتقارب المتسلسلة أو تتباعد.
- هذا يحدث للمتسلسلات p (مثل $\sum\tfrac1{n^2}$ يعطي $L=1$)، حيث ستستخدم قاعدة المتسلسلة p بدلاً من ذلك.
- لذا يختبر النسبة كفاءة المضروبات/الأسيات لكنه لا فائدة منه للأسوط plainlights of $n$.
- اعرف $L=1$ وغيّر الأدوات.
بما أن $\lim\tfrac{2}{n+1}=0<1$، فإن المتسلسلة $\sum\tfrac{2^n}{n!}$...
$L=0<1$ → تتقارب.
خذ القيمة المطلقة للنسبة، وتذكر الحالات الثلاث: $L<1$ تتقارب، $L>1$ تتباعد، $L=1$ غير حاسمة (لا تخمن — استخدم اختباراً آخر). اختبار النسبة قوي للضرايع/الأسس لكنه يعطي $L=1$ (غير مفيد) على متسلسلات p مثل $\sum\tfrac1{n^p}$.
هل $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n}{n!}$ تتقارب؟
- $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\dfrac{2}{n+1}$.
- $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{2}{n+1}=0<1$.
- بما أن $L<1$، فإن المتسلسلة تتقارب.
اختبار النسبة: $L=\lim\big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\big|$. $L<1$ → تتقارب، $L>1$ → تتباعد، $L=1$ → غير حاسم. مثالي لـ المضروبات والأسيات (النسب تتبسط)؛ عديم الفائدة (يعطي $L=1$) على المتسلسلات p.