إيجاد مساحة المنطقة المحدودة بمنحنيين قطبيين
المنطقة بين منحنيين قطبيين
- تماماً كما مع $x,y$ منحنيات، يمكنك إيجاد المساحة بين منحنيين قطبيين.
- خذ المساحة داخل المنحنى الخارجي اطرح المساحة داخل المنحنى الداخلي.
- كل منهما تكامل $\tfrac12\int r^2\,d\theta$؛ الجواب هو الفرق بينهما.
- الحيل يكمن في إيجاد نقاط التقاطع لتحديد حدود الزاوية.
أوجد زوايا التقاطع أولاً
- مساوِ المنحنيين ببعضهما، $f(\theta)=g(\theta)$، وحل لإيجاد زوايا التقاطع.
- هذه الزوايا هي حدود التكامل $\alpha,\beta$ للمنطقة المحصورة.
- (تقاطعات الإحداثيات القطبية قد تكون خادعة — قد يُصل إلى نقطة بزوايا مختلفة $\theta$؛ ارسم الرسم البياني للتأكد).
- منطقة الاهتمام تقع بين هذه الزوايا.
المساحة بين منحنيين قطبيين هي $\tfrac12\int_\alpha^\beta(\ ?\ )\,d\theta$ حيث يكون التكامل...
مربع الخارجي مطروحاً منه مربع الداخلي.
لضبط حدود الزاوية، أوجد زوايا الـ ____ بحل $f(\theta)=g(\theta)$.
حيث يتقاطع المنحنيان يحدهما المنطقة.
تربيع الخارجي ناقص تربيع الداخلي
- على المجال، حدد أي المنحنيين هو الخارجي (نصف قطر $r$ أكبر) وأيهما هو الداخلي.
- المساحة بينهما هي:
-
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\Big(\big[r_{\text{outer}}\big]^2-\big[r_{\text{inner}}\big]^2\Big)\,d\theta$$
- ربّع كل نصف قطر، اطرح، جزّئ إلى النصف، أكمل — الغسالة القطبية.
بين منحنيين قطبيين
تطرح المساحة بين منحنيين قطبيين المقاطع الداخلية من الخارجية — $\tfrac12\int(r_\text{out}^2-r_\text{in}^2)\,d\theta$.
على طول الفترة، المنحنى الخارجي هو الذي له...
الخارجي = أبعد عن نقطة الأصل = قيمة $r$ أكبر.
تربّع أولاً، ثم اطرح
- تماماً مثل غسالات ديكارتية، إنها $r_{\text{out}}^2-r_{\text{in}}^2$، ليست $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$.
- ربّع كل نصف قطر قبل الطرح.
- تحقق من أي المنحنيين هو خارجي على المجال — يمكن أن يتبادلان، مما يتطلب تقسيماً.
- الـ $\tfrac12$ والتربيعان كلاهما ضروريان.
المساحة داخل $r=2$، خارج $r=1$: $\tfrac12\int_0^{2\pi}(4-1)\,d\theta$ (كمضاعف لـ $\pi$).
$\tfrac12\cdot3\cdot2\pi=3\pi$.
تربّع كل نصف قطر قبل الطرح، لا $(r_\text{out}-r_\text{in})^2$.
إنها $r_\text{out}^2-r_\text{in}^2$.
إذا تبادل المنحنيان الخارجي والداخلي خلال الفترة، يجب أن تقسم التكامل عند نقطة التقاطع.
القسمة تحافظ على (الخارجي ناقص الداخلي) صحيحاً على كل جزء.
الدالة المكاملة هي $r_{\text{outer}}^2-r_{\text{inner}}^2$ — ربّع قبل الطرح، أبداً لا $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$. احصل على زوايا التقاطع بشكل صحيح (ارسم المنحنيات)، وأكد أي المنحنيين هو خارجي عبر المجال؛ إذا تبدلا مكانهما، قسّم التكامل عند نقطة التقاطع.
أوجد المساحة داخل $r=2$ ولكن خارج $r=1$ (حلقة دائرية).
- خارجي $r=2$، داخلي $r=1$، على جميع الزوايا من $0$ إلى $2\pi$.
- $A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}\big(2^2-1^2\big)\,d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}3\,d\theta=\dfrac12\cdot3\cdot2\pi=3\pi$.
- (يطابق مساحة الحلقة $\pi(2^2-1^2)=3\pi$.) ✓
المسافة بين منحنيين قطبيين هي $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(r_{\text{outer}}^2-r_{\text{inner}}^2\big)\,d\theta$. أولاً أوجد زوايا التقاطع للحدود، حدد الخارجي مقابل الداخلي، وربّع كل نصف قطر قبل الطرح — أبداً لا $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$.