تعريف المتسلسلات اللانهائية المتقاربة والمتباعدة
| English | العربية |
|---|---|
| infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/ | السلاسل اللانهائية |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | تتقارب |
| diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/ | تتباعد |
| partial sum/ˈpɑːʃl sʌm/ | المجموع الجزئي |
جمع عدد لا نهائي من الأرقام
- هل يمكنك جمع عدد لا نهائي من الحدود والحصول على إجمالي محدود؟ أحياناً نعم.
- متسلسلة لا نهائية هي مجموع $a_1+a_2+a_3+\cdots$ من حدود متتالية.
- تتقارب إذا كان المجموع التراكمي يقترب من عدد محدود، وتتباعد بخلاف ذلك.
- هذه الوحدة كلها عن كيف نقرر أيهما — وعندما تتقارب، إلى ماذا.
المجاميع الجزئية هي المفتاح
- اجمع الحدود واحداً تلو الآخر: المجموع الجزئي $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ هو مجموع أول $n$ حدود.
- هذه المجاميع الجزئية تشكل متتالية خاصة بها $S_1,S_2,S_3,\dots$.
- قيمة المتسلسلة تُعرف كـ نهاية المجاميع الجزئية: $\displaystyle\sum a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$.
- لذا فإن المجموع اللانهائي هو في الواقع نهاية — نفس فكرة النهاية من الوحدة 1.
حدود متسلسلة متقاربة
حدود $1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$ تتناقص هندسياً، لذا تستقر المجاميع الجزئية عند نهاية نهائية.
قيمة المتسلسلة اللانهائية تُعرف بأنها limit مجاميعها...
$\sum a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$.
مجموع أول $n$ حدود، $S_n$، يُسمى المجموع الجزئي رقم $n$.
المتسلسلة هي limit هذه المجاميع الجزئية.
التقارب مقابل التباعد
- تتقارب: المجاميع الجزئية $S_n$ تقترب من نهاية محدودة $L$ — تلك $L$ هي مجموع المتسلسلة.
- تتباعد: المجاميع الجزئية تنمو بلا حدود، أو ترتد ولا تستقر أبداً.
- $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ تتقارب (إلى $2$)؛ $1+1+1+\cdots$ تتباعد.
- التقارب يتعلق بالمجاميع الجزئية باستقرارها، وليس بالحدود.
ما النهاية التي تتجه نحوها مجاميع $1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$?
متسلسلة هندسية بنسبة $\tfrac12$ مجموعها $2$.
أي متسلسلة تتباعد بوضوح؟
الحدود لا تتناقص إلى $0$، لذا تتباعد.
تتقارب المتسلسلة عندما تكون مجاميعها الجزئية...
التقارب = المجاميع الجزئية تقترب من $L$ نهائي.
تصاعد الحدود شرط ضروري وليس كافياً
- لكي تتقارب متسلسلة، يجب أن تنكمش حدودها نحو $0$ — وإلا فلن يستقر المجموع الكلي.
- لكن حدود التصاعد وحدها لا تضمن التقارب (متسلسلة هارموني $\sum\tfrac1n$ لها حدود $\to0$ ومع ذلك تتباعد).
- لذا فإن "$a_n\to0$" هو شرط ضروري، وليس كافياً.
- الاختبارات في هذه الوحدة هي الأدوات للحالات الأصعب.
إذا كانت الحدود $a_n\to 0$، يجب أن تتقارب المتسلسلة.
شرط ضروري وليس كافياً — مثلاً $\sum\tfrac1n$ تتباعد.
المتسلسلة هي نهاية المجاميع الجزئية، وليست مجرد "الحدود." ذهاب الحدود نحو $0$ هو ضروري للتقارب ولكنه غير كافٍ — $\sum\frac1n$ له حدود $\to0$ ومع ذلك تتباعد. لا تستنتج التقارب فقط لأن الحدود تنكمش؛ تحتاج إلى أحد اختبارات التقارب.
هل $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ تتقارب؟
- المجاميع الجزئية: $S_1=1$، $S_2=1.5$، $S_3=1.75$، $S_4=1.875,\dots$
- تتصعد نحو $2$ ولا تعبره أبداً.
- النهاية هي $2$، لذا المتسلسلة تتقارب إلى $2$.
السلسلة اللانهائية $\sum a_n$ هي نهاية مجموعاتها الجزئية $S_n=a_1+\cdots+a_n$: تتقارب نحو $L$ إذا كانت $S_n\to L$ (محدودة)، وتتباعد في غير ذلك. تقلص الحدود نحو $0$ هو شرط ضروري但不 كافي للتقارب.