العمل مع المتسلسلات الهندسية
| English | العربية |
|---|---|
| geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ | متسلسلة هندسية |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | النسبة المشتركة |
السلسلة الوحيدة التي يمكنك جمعها بدقة
- معظم السلاسل صعبة الجمع. السلسلة الهندسية هي الاستثناء الودود — لديها صيغة.
- كل حد يساوي الحد السابق مضروباً في نسبة مشتركة ثابتة $r$: $a+ar+ar^2+ar^3+\cdots$.
- إنها النسخة اللانهائية لمتتاليات هندسية تعرفها بالفعل.
- وهناك قاعدة واضحة تماماً حول متى تتقارب وإلى ماذا.
متتالية هندسية
تضيف المتسلسلة الهندسية حدوداً مضروبة في $r$ في كل مرة — تتقارب (إلى $a/(1-r)$) فقط عندما $|r|<1$.
تتقارب فقط عندما $|r|<1$
- السلسلة الهندسية تتقارب فقط عندما $|r|<1$ (النسبة كسر).
- إذا $|r|\ge1$، فإن الحدود لا تتناقص نحو $0$، لذا فهي تتباعد.
- $\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ ($r=\tfrac12$) تتقارب؛ $1+2+4+\cdots$ ($r=2$) تتباعد.
- الرقم الوحيد $|r|$ يحدد كل شيء.
تتقارب المتسلسلة الهندسية $\sum a r^n$ فقط عندما...
تتقارب إذا وفقط إذا كانت النسبة كسراً، $|r|<1$.
أي متسلسلة هندسية تتباعد؟
$r=2$ لها $|r|\ge1$ → تتباعد.
صيغة المجموع
- عندما تتقارب ($|r|<1$)، يكون المجموع هو
-
$$\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}=\frac{a}{1-r}$$
- $a$ هو الحد الأول و$r$ النسبة المشتركة.
- عوض بالقيم لتحصل على المجموع اللانهائي الدقيق — دون الحاجة لحساب النهايات يدوياً.
مجموع المتسلسلة الهندسية المتقاربة هو...
$\sum a r^n=\frac{a}{1-r}$ لـ $|r|<1$.
يمكن تطبيق الصيغة $\tfrac{a}{1-r}$ حتى عندما $|r|\ge1$.
فقط عندما $|r|<1$ (متقاربة).
تحديد $a$ و$r$ بشكل صحيح
- $a$ هو الحد الأول الفعلي للسلسلة (أياً كان بدايتها)، وليس بالضرورة $1$.
- $r$ هو النسبة بين الحدود المتتالية — قسّم أي حد بالحد الذي يسبقه.
- إذا بدأت السلسلة عند $n=1$ بدلاً من $n=0$، عدّل $a$ لتصبح هذا الحد الأول.
- مع $a$ و$r$ الصحيحين، تقوم الصيغة $\tfrac{a}{1-r}$ بباقي العمل تلقائياً.
أوجد $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty 5\left(\tfrac13\right)^n$ (كعدد عشري).
$\frac{5}{1-1/3}=\frac{5}{2/3}=7.5$.
في الصيغة $\tfrac{a}{1-r}$، $a$ هو الحد الـ ____ للمتسلسلة.
$a$ هو الحد الأول الفعلي.
الصيغة $\frac{a}{1-r}$ تُطبق فقط عندما $|r|<1$ — واستخدامها على متسلسلة هندسية متباعدة يعطي رقماً بلا معنى. و$a$ هو الحد الأول كما هو مكتوب، وليس بالضرورة $1$: بالنسبة لـ$\sum_{n=1}^\infty 3\cdot 2^{-n}=\tfrac32+\tfrac34+\cdots$، الحد الأول هو $\tfrac32$، وليس $3$.
جد مجموع $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} 5\left(\tfrac13\right)^{n}$.
- الحد الأول $a=5$، والنسبة المشتركة $r=\tfrac13$. بما أن $|r|<1$، فهي تتقارب.
- $\displaystyle\sum=\frac{a}{1-r}=\frac{5}{1-\tfrac13}=\frac{5}{\tfrac23}=\frac{15}{2}$.
السلسلة الهندسية $\sum a\,r^n$ تتقارب إذا وفقط إذا $|r|<1$، وتجمع إلى $\frac{a}{1-r}$ (حيث $a$ هو الحد الأول، و$r$ هي النسبة المشتركة). إذا $|r|\ge1$ تتباعد. إنها السلسلة الوحيدة ذات مجموع دقيق وسهل.