اختبار الحد n للتباعد
| English | العربية |
|---|---|
| nth Term Test/ˌenˌtiːˈeɪtʃ tɜːm test/ | اختبار الحد النوني |
طريقة سريعة لإثبات التباعد
- قبل إجراء اختبار متطور، قم بأرخص تحقق: انظر إلى الحدود.
- اختبار الحد النوني (أو اختبار التباعد) يستخدم نهاية الحدود $a_n$.
- إذا لم تتناقص الحدود نحو $0$، فلا يمكن للسلسلة أن تتقارب — تتباعد فوراً.
- هو أول شيء يجب تجربته، ولا يثبت أبداً إلا التباعد.
الاختبار
- احسب $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$.
- إذا $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ (أو النهاية غير موجودة)، فإن السلسلة $\sum a_n$ تتباعد.
- الغرائز: إذا كنت تضيف قطعاً لا تتناقص نحو $0$، فلن يستقر المجموع أبداً.
- حساب نهاية واحد، وقد تكون قد انتهيت.
حدود لا تصل إلى الصفر
إذا استقرت حدود متسلسلة عند قيمة غير صفرية، فلن يستقر المجموع أبداً — يثبت اختبار الحد n التباعد.
إذا $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$، فإن $\sum a_n$...
نهاية حد غير صفرية → تباعد.
لا يمكنه أبداً إثبات التقارب
- إذا $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$، يكون الاختبار غير حاسم — لا يخبرك بشيء.
- قد تتقارب السلسلة أو تتباعد؛ يجب عليك استخدام اختبار آخر.
- السلسلة التوافقية $\sum\tfrac1n$ لها $a_n\to0$ لكنها تتباعد — دليل على أن الاختبار لا يمكنه تأكيد التقارب.
- لذا فإن نهائياً "$0$" هو طريق مسدود لـ هذا الاختبار، وليس إشارة مرور خضراء.
إذا $\lim_{n\to\infty}a_n=0$، فإن اختبار الحد n هو...
يثبت التباعد فقط؛ فإن $0$ لا يخبرك شيئاً.
يمكن لاختبار الحد n إثبات تقارب متسلسلة.
يمكنه فقط إثبات التباعد.
المتسلسلة $\sum\tfrac1n$ لها $a_n\to0$ لكنها تتباعد. هذا يظهر أن اختبار الحد n...
لا تضمن $0$ التقارب.
مكانه في الاستراتيجية
- قم دائماً بتشغيل اختبار الحد النوني أولاً — فهو سريع ويمكن أن يوفر عليك اختباراً صعباً.
- الحدود ليست $\to0$؟ انتهى الأمر: تتباعد.
- الحدود تساوي $\to0$؟ انتقل إلى اختبار تقارب حقيقي (هندسي، تكامل، مقارنة، نسبة، متبادل الإشارات).
- هو مصفاة، وليس إجابة شاملة.
لـ $\sum\dfrac{n}{2n+1}$، $\lim a_n=\tfrac12$. لذا المتسلسلة...
$\tfrac12\neq0$ → يتباعد.
كمصفاة سريعة، طبق اختبار الحد n ____ بين اختبارات التقارب.
إنه أسهل فحص للتباعد.
اختبار الحد النوني يمكنه فقط إثبات التباعد. إذا $\lim a_n=0$، فهو غير حاسم — لا تستنتج التقارب. الخطأ الأكثر شيوعاً هو قول "$a_n\to0$، إذن تتقارب" — خطأ؛ $\sum\frac1n$ هو المثال المضاد.
هل $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2n+1}$ تتقارب؟
- الحدود: $a_n=\dfrac{n}{2n+1}$. النهاية: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac12$.
- بما أن النهاية تساوي $\tfrac12\neq0$، فإن السلسلة تتباعد حسب اختبار الحد النوني.
اختبار الحد النوني: إذا $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$ (أو DNE)، فإن $\sum a_n$ تتباعد. إذا $\lim a_n=0$، يكون الاختبار غير حاسم (لا يثبت التقارب أبداً). قم بتشغيله أولاً كمصفاة سريعة للتباعد.