اختبار التكامل للتقارب
| English | العربية |
|---|---|
| Integral Test/ˈɪntɪɡrəl test/ | اختبار التكامل |
سلسلة وتكامل يرتفعان أو ينخفضان معاً
- إذا كانت حدود السلسلة مشتقة من دالة تناقصية جميلة، فإن مصيرها يطابق تكامل تلك الدالة.
- اختبار التكامل يقارن $\sum a_n$ مع $\int f(x)\,dx$، حيث $a_n=f(n)$.
- تخيل الحدود كمساحات مستطيلات — فهي محصورة بمساحة تحت المنحنى.
- لذلك فإن التكامل غير المحدود المتقارب (أو غير المتقارب) يجبر السلسلة على فعل نفس الشيء.
الشروط
- يحتاج الاختبار إلى أن يكون $f$ مثبتاً، متصلاً، وتناقصياً لـ $x\ge$ نقطة معينة.
- بعد ذلك عرّف $a_n=f(n)$ وقارنه بالتكامل غير المحدود.
- هذه الشروط تسمح للمستطيلات بحصر المساحة تحت $f$.
- تحقق من الثلاثة قبل التطبيق — فإن $f$ غير التناقصي يكسر المقارنة.
يتطلب اختبار التكامل أن يكون $f$ أي على $[1,\infty)$؟
موجب، متصل، تناقصي — ليس بالضرورة دالة كثيرة حدود.
يربط اختبار التكامل المتسلسلة بالتكامل عن طريق تعيين $a_n=f(\ \_\_\ )$.
الحدود هي الدالة المأخوذة عند الأعداد الصحيحة.
الاستنتاج
- $\displaystyle\sum a_n$ و$\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,dx$ يتقاربان أو يتباعدان معاً — نفس المصير.
- احسب التكامل غير المحدود: إذا كان محدوداً، تتقارب السلسلة؛ إذا كان لا نهائياً، تتباعد.
- (مجموع السلسلة ليس قيمة التكامل — يشتركان فقط في التقارب، وليس في الرقم.)
- تكامل غير محدود واحد يحسم مصير السلسلة بأكملها.
يقول اختبار التكامل أن $\sum a_n$ و$\int_1^\infty f\,dx$...
يشتركان في القدر، وليس القيمة.
قيمة التكامل غير المنتهي تساوي مجموع المتسلسلة.
يشتركان في التقارب، وليس القيمة ($\sum\tfrac1{n^2}=\tfrac{\pi^2}{6}\neq1$).
لماذا تعمل
- مستطيلات مساحة $a_n$ تقع فوق أو تحت المنحنى $y=f(x)$ مباشرة.
- لذلك تُحشَر السلسلة بين $\int f$ و$\int f + a_1$ — التكامل المحدود يعني سلسلة محدودة.
- هذا هو "مقارنة المساحة" صارم، يحول المجموع إلى تكامل يمكنك حسابه.
- مفيد بشكل خاص للحدود مثل $\tfrac1{n^p}$ و$\tfrac1{n\ln n}$.
مستطيلات محصورة بالمنحنى
y = 1/x²
تتلاءم مستطيلات الحدود مع المساحة تحت $f$، لذا تتقارب أو تتباعد المتسلسلة والتكامل معًا.
بما أن $\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (نهائية)، فإن المتسلسلة $\sum\tfrac1{n^2}$...
تكامل نهائي → متسلسلة متقاربة.
إذا $\int_1^\infty f\,dx$ تتباعد (إلى $\infty$)، فإن $\sum a_n$...
قدر مشترك: تكامل متباعد → متسلسلة متباعدة.
يتطلب اختبار التكامل $f$ الموجبة، المتصلة، والمتناقصة — تحقق من الثلاثة جميعاً. ويشارك الاختبار فقط التقارب/التباعد، وليس القيمة: $\sum a_n \neq \int_1^\infty f\,dx$ بشكل عام. لا تدرج قيمة التكامل كمجموع المتسلسلة.
اختبر $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ باستخدام اختبار التكامل.
- $f(x)=\tfrac1{x^2}$ موجبة، متصلة، ومتناقصة من أجل $x\ge1$. ✓
- $\displaystyle\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (محدود، من الدرس 6.13).
- التكامل متقارب، إذن المتسلسلة متقاربة. (مجموعها هو $\tfrac{\pi^2}{6}$، وليس $1$.)
اختبار التكامل: إذا كانت $f$ موجبة، متصلة، ومتناقصة مع $a_n=f(n)$، فإن $\sum a_n$ و$\int_1^\infty f(x)\,dx$ يشاركان المصير نفسه (كلاهما يتقاربان أو كلاهما يتباعد). احسب التكامل غير المنتظم لاتخاذ القرار — لكن قيمته ليست مجموع المتسلسلة.