إيجاد مساحة منطقة قطرية أو المساحة المحصورة بمنحنى قطري واحد
| English | العربية |
|---|---|
| area/ˈeərɪə/ | مساحة |
| sectors/ˈsektəz/ | مقطعات |
المنطقة المحاطة بالمنحنى القطبي
- من أجل $y=f(x)$ قسمنا المساحة إلى مستطيلات رأسية. المنحنى القطبي يحيط بنقطة الأصل بدلاً من ذلك.
- لذا نقسم المنطقة إلى قطاعات رقيقة على شكل قطعة خبز، كل منها شريحة من دائرة.
- جمع مساحات تلك القطاعات يعطي المساحة المحصورة داخل المنحنى القطبي.
- النتيجة هي تكامل نظيف في $\theta$.
صيغة المساحة القطبية
- قطاع رفيع عند زاوية $\theta$ له نصف قطر $r=f(\theta)$ وزاوية صغيرة جداً $d\theta$؛ مساحته هي $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
- اجمعها من $\theta=\alpha$ إلى $\theta=\beta$:
-
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$$
- مربع نصف القطر، انصفه، وأعد التكامل على فترة الزاوية.
المساحة المحصورة بواسطة $r=f(\theta)$ هي...
نصف تكامل $r^2$.
سبب وجود $\tfrac12 r^2$
- مساحة القطاع الدائري الكامل بنصف قطر $r$ وزاوية $\Delta\theta$ هي $\tfrac12 r^2\,\Delta\theta$.
- شرائحنا الرقيقة هي بالضبط هذه القطاعات بـ $\Delta\theta\to d\theta$.
- جمعها (بالتكامل) يجمّع المنطقة الممسوحة.
- إنه نظير قطبي لـ "جمع مستطيلات رقيقة"، باستخدام شطائح الكعكة بدلاً منها.
المقاطع الرقيقة تحدد المساحة
تُجمَع المنطقة القطرية من مقاطع رقيقة تشبه شريحة الكعك، كل منها مساحته $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
تجمع صيغة المسقط القطبي مساحات ____ دائرية رقيقة.
كل مقطع له مساحة $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
اختيار حدود الزاوية
- الحدود $\alpha,\beta$ هي الزوايا التي تمشي فيها المنحنى المنطقة مرة واحدة.
- لدورة كاملة واحدة لمنحنى بسيط، غالباً ما تكون ذلك من $0$ إلى $2\pi$ — لكن العديد من المنحنيات تغلق في وقت أقل.
- بتال من زهرة $r=\cos(3\theta)$ يمشي بين الأصفار المتتالية لـ $r$.
- اختر الحدود لتتبع المنطقة بالضبط مرة واحدة (بدون عدّ مزدوج).
أوجد المساحة المحصورة بين $r=2$: $\tfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta$ (بصفتها مضاعفاً لـ $\pi$، أدخل الرقم).
$\tfrac12\cdot4\cdot2\pi=4\pi$.
تتضمن صيغة المسقط القطبي عاملاً $\tfrac12$ وتربّع $r$.
$A=\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
يجب اختيار حدود الزاوية $\alpha,\beta$ بحيث يرسم المنحنى المنطقة...
الرسم أكثر من مرة يؤدي إلى حساب المساحة مرتين.
تعطي الصيغة القطبية $4\pi$ لـ $r=2$، مما يتوافق مع...
$\pi(2)^2=4\pi$ — يتفق الاثنان.
الصيغة هي $\tfrac12\int r^2\,d\theta$ — لا تنسَ الـ $\tfrac12$ أو الـ تربيع على $r$. واختر $\alpha,\beta$ بحيث يتتبع المنحنى المنطقة بالضبط مرة واحدة: تجاوز نطاق الزاوية يؤدي إلى عدّ مزدوج للمساحة (على سبيل المثال، بتال زهرة كامل يحتاج الزوايا بين قيمتي $r=0$ متتاليتين، وليس من $0$ إلى $2\pi$).
أوجد المساحة المحصورة بواسطة $r=2$ (دائرة نصف قطرها $2$).
- $A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}(2)^2\,d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta=\dfrac12\cdot4\cdot2\pi=4\pi$.
- هذا يطابق مساحة الدائرة المألوفة $\pi r^2=\pi(2)^2=4\pi$. ✓
المساحة المحصورة بمنحنى قطبي $r=f(\theta)$ هي $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$ — بجمع قطاعات رقيقة $\frac12 r^2\,d\theta$. احتفظ بالـ $\frac12$ والتربيع، واختر حدود الزاوية بحيث تتتبع المنطقة مرة واحدة بالضبط.