تعريف الإحداثيات القطرية والاشتقاق بالصيغة القطرية
| English | العربية |
|---|---|
| Cartesian/kɑːˈtiːzɪən/ | دي كارتي |
| Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | الإحداثيات القطبية |
تحديد النقاط بالزاوية والمسافة
- تستخدم الإحداثيات الديكارتية "يمين $x$، أعلى $y$." الإحداثيات القطبية تستخدم "الزاوية والمسافة."
- النقطة هي $(r,\theta)$: $r$ هي المسافة من نقطة الأصل، $\theta$ هي الزاوية من المحور الموجب لـ $x$.
- الدوائر والأبراج التي تبدو سيئة في $x,y$ تصبح بسيطة في الصيغة القطبية.
- تُكتب المنحنيات $r=f(\theta)$ — نصف القطر كدالة للزاوية.
تحويل القطبي ⇄ الديكارتي
- من القطبي إلى الديكارتي: $x=r\cos\theta$، $y=r\sin\theta$.
- من الديكارتي إلى القطبي: $r=\sqrt{x^2+y^2}$ و$\tan\theta=\tfrac{y}{x}$.
- هذه تأتي مباشرة من مثلث قائم الزاوية على النقطة.
- غيّر whichever way makes the problem easier.
الجيب وجيب التمام يبنيان النظام القطري
$x=r\cos\theta$، $y=r\sin\theta$ — الإحداثيات القطرية مبنية من هاتين الدالتين المثلثيتين للزاوية.
التحويل من القطري إلى الديكارتي هو...
$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.
لتحويل الديكارتي إلى قطري، $r=\sqrt{x^2+\ \_\_\_\ }$.
$r=\sqrt{x^2+y^2}$.
المنحنى القطبي هو مخفيًا بارامتر
- تعامل مع $r=f(\theta)$ كمنحنى بارامتري مع $\theta$ كمعامل:
- $x=f(\theta)\cos\theta$ و$y=f(\theta)\sin\theta$.
- الآن تطبق جميع آليات البارامترات — بما في ذلك الميل $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$.
- لذا فإن "الاشتقاق في القطبي" يعني مجرد اشتقاق بارامتري بهذه $x,y$.
حول $(2,\tfrac{\pi}{3})$: أوجد الإحداثي $x$.
$2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac12=1$.
يمكن التعامل مع المنحنى القطري $r=f(\theta)$ كمنحنى بارامتري بمعامل...
$x=f(\theta)\cos\theta$، $y=f(\theta)\sin\theta$ بمعامل $\theta$.
إيجاد الميل $\tfrac{dy}{dx}$
- احسب $\tfrac{dx}{d\theta}$ و$\tfrac{dy}{d\theta}$ من قاعدة الضرب/السلسلة على $f(\theta)\cos\theta$ و$f(\theta)\sin\theta$.
- ثم $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — الميل البارامتري العادي.
- تحذير: $\tfrac{dy}{dx}$ ليس $\tfrac{dr}{d\theta}$؛ الميل يحتاج مشتقات $x,y$ الكاملة.
- المعامل هو $\theta$، لذا اشتق تعابير $x,y$ بالنسبة لـ $\theta$.
الميل $\tfrac{dy}{dx}$ لمنحنى قطري يساوي $\tfrac{dr}{d\theta}$.
الميل هو $\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$، باستخدام مشتقات $x,y$.
الإحداثيات القطرية $(r,\theta)$ و$(r,\theta+2\pi)$ تصف نفس النقطة.
إضافة دورة كاملة تعيدك إلى نفس النقطة.
ميل المنحنى القطبي هو $\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$، وليس $\dfrac{dr}{d\theta}$. يجب أن تحول إلى $x=r\cos\theta$، $y=r\sin\theta$ أولاً وتشتق تلك (قاعدة الضرب!) بالنسبة لـ $\theta$. وإحداثيات نقطة قطبية ليست فريدة — $(r,\theta)$ و$(r,\theta+2\pi)$ هما نفس النقطة.
حول النقطة القطبية $\big(2,\tfrac{\pi}{3}\big)$ إلى ديكارتي.
- $x=r\cos\theta=2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac12=1$.
- $y=r\sin\theta=2\sin\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$.
- إذن النقطة هي $\big(1,\sqrt3\big)$.
الإحداثيات القطبية $(r,\theta)$ تعطي نقطة عبر المسافة والزاوية. حول باستخدام $x=r\cos\theta$، $y=r\sin\theta$ (وعود عبر $r=\sqrt{x^2+y^2}$). المنحنى القطبي $r=f(\theta)$ هو منحنى بارامتري في $\theta$، لذا ميله هو $\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — وليس $\frac{dr}{d\theta}$.