حل مسائل الحركة باستخدام المعادلات البارامترية والدوال ذات القيم المتجهة
الحركة المستوية الكاملة، من البداية إلى النهاية
- الآن اجمع كل شيء: جسيم يتحرك في المستوى، يُوصف بـ $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$.
- اشتق للحصول على السرعة والتسارع؛ تكامل للذهاب في الاتجاه العكسي.
- احسب السرعة القياسية والمسافة المقطوعة من مركبات السرعة.
- هذه الدرس هو صندوق الأدوات لأي مسألة حركة مستوية BC.
الموضع، السرعة، التسارع
- الموضع: $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$.
- السرعة: $\mathbf{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — اتجاه الحركة، مماس للمسار.
- التسارع: $\mathbf{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$.
- انصعد في السلسلة بالاشتقاق، ونزل بالتكامل مع الشروط الابتدائية.
متجه السرعة مماس للمسار؛ قيمته هي ____.
السرعة = قيمة متجه السرعة.
السرعة القياسية والمسافة المقطوعة
- السرعة القياسية عند الزمن $t$: $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$ — كمية قياسية.
- المسافة المقطوعة خلال $[a,b]$: اكمل سرعة $\displaystyle\int_a^b |\mathbf{v}(t)|\,dt$.
- هذا هو نفس تكامل طول القوس — إجمالي طول المسار، ولا يكون سالبًا أبدًا.
- السرعة القياسية تجيب على "كم بسرعة الآن"؛ التكامل يجيب على "كم مسافة إجمالاً."
عنصر سرعة عبر الزمن
y = bx
السرعة تجمع عناصر السرعة؛ تكامل السرعة عبر الزمن يعطي إجمالي المسافة التي يقطعها الجسيم.
بالنسبة لـ $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,3\rangle$، أوجد السرعة عند $t=2$.
$\sqrt{4^2+3^2}=5$.
المسافة المقطوعة خلال $[a,b]$ هي...
اكامل السرعة (قيمة متجه السرعة).
الموضع عند زمن لاحق
- لإيجاد أين يوجد الجسيم في الزمن $b$: ابدأ من موضع معروف وأضف التغير المتراكم.
- $x(b)=x(a)+\displaystyle\int_a^b x'(t)\,dt$، وكذا بالنسبة لـ $y$ — كل مركبة على حدة.
- هذا يعني "الأخير = الأول + التغير المتراكم"، يتم ذلك لكل إحداثي.
- ادمج النتيجتين في متجه الموضع عند الزمن $b$.
أي مما يلي متجهات (ليست كميات قياسية)؟
السرعة والتسارع متجهات؛ السرعة والمسافة كميات قياسية.
موضع $x$ عند الزمن $b$ هو $x(a)$ زائد...
الأخير = الأولي + التغير المتراكم لـ $x$.
المسافة المقطوعة تساوي قيمة متجه الإزاحة.
المسافة هي $\int|\mathbf{v}|\,dt$؛ يمكن أن تكون قيمة الإزاحة أصغر.
حافظ على فصل المتجهات والكميات القياسية: السرعة والتسارع هما متجهات (اتجاه + مقدار)؛ السرعة القياسية والمسافة هي كميات قياسية. المسافة المقطوعة هي $\int|\mathbf{v}|\,dt$ (تكامل السرعة)، وليس الإزاحة $\int \mathbf{v}\,dt$ أو $|\int\mathbf{v}\,dt|$. وأوجد موقعا لاحقًا بإضافة تكاملات المركبات إلى الموضع الابتدائي.
جسيم له $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,\ 3\rangle$. أوجد سرعته القياسية عند $t=2$ وضع إعداد المسافة المقطوعة على $[0,2]$.
- السرعة القياسية عند $t=2$: $|\mathbf{v}(2)|=\sqrt{(4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5$.
- المسافة على $[0,2]$: $\displaystyle\int_0^2\sqrt{(2t)^2+3^2}\,dt=\int_0^2\sqrt{4t^2+9}\,dt$ (احسب عدديًا).
لحركة مستوية $\mathbf{r}(t)=\langle x,y\rangle$: السرعة $\mathbf{v}=\mathbf{r}'$، التسارع $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$ (متجهات)؛ السرعة القياسية $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ والمسافة المقطوعة $\int_a^b|\mathbf{v}|\,dt$ (كميات قياسية). أوجد موقعا لاحقًا بإضافة تكاملات مركبات $x',y'$ إلى الموضع الابتدائي.