تكامل الدوال ذات القيم المتجهة
تكامل متجه، مركبةً بمركبة
- اشتقاق المتجه كان مركبياً. تكامل متجه هو بالضبط نفس الشيء.
- أكمل تكامل كل مركبة على حدة، وجمع النتائج مرة أخرى في متجه.
- $\displaystyle\int \langle f(t),\,g(t)\rangle\,dt = \Big\langle \int f\,dt,\ \int g\,dt\Big\rangle$.
- هذا يسمح لك بتشغيل الحركة عكسياً: من التسارع إلى السرعة، والسرعة إلى الموقع.
لتكامل $\langle f(t),g(t)\rangle$، عليك أن...
اكامل عناصريًا، زائد متجه ثابت.
الدوال العكسية حسب المركبات
- تحصل كل مركبة على دالة عكسية خاصة بها — وثابت خاص بها.
- تتحد الثوابت لتكوين متجه ثابت $\mathbf{C}=\langle C_1,\,C_2\rangle$.
- لذا التكامل غير المحدود لدالة متجهية هو نفسه متجه (زائد $\mathbf{C}$).
- لا يوجد جديد للتعلم فيه — فقط طبق التكامل أحادي المتغير مرتين.
تكامل دالة متجهة يقدم متجه ثابت $\mathbf{C}$.
ثابت واحد لكل عنصر، مجمّعًا في $\mathbf{C}$.
لكل عنصر من عناصر التكامل ثابت تكامل خاص به.
تندمج لتشكل متجه الثابت $\mathbf{C}$.
السرعة من التسارع
- بمعلومية متجه التسارع $\mathbf{a}(t)$، أكمل التكامل لاستعادة السرعة:
- $\mathbf{v}(t)=\displaystyle\int \mathbf{a}(t)\,dt$، مع تثبيت المتجه الثابت بواسطة سرعة ابتدائية $\mathbf{v}(t_0)$.
- قم بالتكامل مرة أخرى لإيجاد الموضع، باستخدام موضع ابتدائي.
- إنه النسخة المتجهية لـ "الموضع ← السرعة ← التسارع" عن طريق التكامل.
اكامل التسارع للحصول على السرعة
y = ax² + bx
تكامل كل عنصر من عناصر التسارع (زائد ثابت) يستعيد السرعة — الشرط الأولي يحدد الثوابت.
تكامل متجه التسارع يستعيد الـ...
التسارع يكامل ليصبح سرعة.
استخدم الشرط الابتدائي لإيجاد $\mathbf{C}$
- كل تكامل يقدم متجه ثابت يجب تحديده بدقة.
- عوض بالمتجه الابتدائي المعطى (السرعة أو الموضع عند زمن ما) وحل من أجل $\mathbf{C}$.
- قم بذلك لكل مركبة: الشرط الابتدائي يحدد كلًا من $C_1$ و$C_2$.
- ثم اكتب دالة المتجه المحددة بالكامل.
إذا $\mathbf{a}(t)=\langle 2,6t\rangle$ و$\mathbf{v}(0)=\langle 1,0\rangle$، فإن $\mathbf{v}(t)=$
اكامل ثم طبق $\mathbf{v}(0)$: $C_1=1,C_2=0$.
لتحديد متجه الثابت، طبق الشرط ____ المعطى.
أدخل السرعة الأولية أو الموضع.
تكامل كل مركبة على حدة، ولا تنسَ إضافة متجه ثابت $\mathbf{C}$ — وهو ثابت تكامل لكل مركبة. استخدم الشرط الابتدائي (السرعة أو الموضع عند زمن معين) لحل $\mathbf{C}$ مركبة بمركبة قبل تقديم الإجابة.
إذا كان $\mathbf{a}(t)=\langle 2,\ 6t\rangle$ و$\mathbf{v}(0)=\langle 1,\ 0\rangle$، فأوجد $\mathbf{v}(t)$.
- أكمل: $\mathbf{v}(t)=\langle 2t+C_1,\ 3t^2+C_2\rangle$.
- طبق $\mathbf{v}(0)=\langle 1,0\rangle$: $C_1=1$، $C_2=0$.
- $\mathbf{v}(t)=\langle 2t+1,\ 3t^2\rangle$.
تكامل دالة ذات قيم متجهية مركبة بمركبة: $\int\langle f,g\rangle\,dt=\langle\int f\,dt,\int g\,dt\rangle$، بالإضافة إلى متجه ثابت $\mathbf{C}$. أكمل التكامل للتسارع للحصول على السرعة (وتكامل مرة أخرى للموضع)، مستخدمًا شرطًا ابتدائيًا لحل $\mathbf{C}$ في كل مركبة.