تعريف واشتقاق الدوال ذات القيم المتجهة
| English | العربية |
|---|---|
| vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/ | الدالة ذات القيم المتجهية |
تجميع الحركة في سهم واحد
- المنحنى البارامتري يعطي $x(t)$ و$y(t)$ بشكل منفصل. اجمعهما في كائن واحد: دالة قيمة متجهية.
- $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ هو متجه الموقع — سهم من الأصل إلى النقطة المتحركة.
- يصف حركة مستوية بكثافة، يتتبع كلا الإحداثيين في آن واحد.
- كل شيء من المنحنيات البارامترية يظهر هنا بصيغة المتجهات.
مسار ترسمه r(t)
y = ax² + bx
متجه الموضع $\mathbf{r}(t)$ يشير إلى الجسيم المتحرك؛ مشتقته (عناصرًا على حدة) هي متجه السرعة.
الاشتقاق مركبةً بمركبة
- لاشتقاق دالة قيمة متجهية، قم فقط باشتقاق كل مركبة على حدة:
-
$$\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$$
- لا توجد قواعد جديدة — مشتقة المتجه هي متجه المشتقات.
- $\mathbf{r}'(t)$ هو متجه السرعة، يشير في اتجاه الحركة.
لاشتقاق $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$، عليك أن...
$\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$.
متجهات السرعة والتسارع
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — متجه السرعة.
- $\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$ — متجه التسارع.
- يتم إيجاد كل منهما عن طريق اشتقاق المركبات مرة أخرى.
- متجه السرعة مماس للمسار؛ طوله هو السرعة.
لـ $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\sin t\rangle$، السرعة $\mathbf{v}(t)=$
اشتق كل عنصر.
متجه التسارع هو...
اشتق الموضع مرتين: $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$.
السرعة هي مقدار متجه السرعة
- السرعة ليست متجهًا — بل هي المقدار $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$.
- هذا هو نفس مكامل السرعة لطول القوس البارامتري.
- لذا يحمل متجه السرعة الاتجاه و الحجم؛ السرعة هي الحجم فقط.
- اشتق للانتقال من الموقع → السرعة → التسارع، مركبةً بمركبة.
لـ $\mathbf{v}(0)=\langle 0,1\rangle$، أوجد السرعة $|\mathbf{v}(0)|$.
$\sqrt{0^2+1^2}=1$.
السرعة متجه، مثل السرعة الاتجاهية.
السرعة هي القيمة المطلقة (المقياس) $|\mathbf{v}|$.
السرعة تساوي ____ متجه السرعة.
$|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$.
اشتق متجهًا مركبةً بمركبة — لا تحاول اشتقاق "المتجه الكامل" كتعبير فوضوي واحد. واحتفظ بـ السرعة (وهي متجه) منفصلة عن السرعة القياسية (مقدارها، عدد قياسي): $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$، وليس مجرد $x'+y'$.
من أجل $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\ \sin t\rangle$، أوجد $\mathbf{v}(t)$ والسرعة عند $t=0$.
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle 2t,\ \cos t\rangle$.
- عند $t=0$: $\mathbf{v}(0)=\langle 0,\ 1\rangle$.
- السرعة $=|\mathbf{v}(0)|=\sqrt{0^2+1^2}=1$.
دالة قيمة متجهية $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$ تصف حركة مستوية. اشتقها مركبةً بمركبة: $\mathbf{v}=\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$ (السرعة)، $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$ (التسارع). السرعة هي المقدار $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ — عدد قياسي، منفصل عن متجه السرعة.