إيجاد أطوال الأقواس للمنحنيات المعطاة بالمعادلات البارامترية

مفردات

English	العربية
arc length/ɑːk leŋθ/	طول القوس
speed/spiːd/	السرعة القياسية

المسافة التي يقطعها نقطة بارامترية

نقطة بارامترية $\big(x(t),y(t)\big)$ تتحرك عبر المستوى. ما طول المسار الذي يرسمه؟
هذا هو طول القوس للمنحنى البارامتري، من $t=a$ إلى $t=b$.
كل خطوة زمنية صغيرة تحرك النقطة بمقدار $dx=\tfrac{dx}{dt}\,dt$ أفقياً و$dy=\tfrac{dy}{dt}\,dt$ عمودياً.
اجمع تلك الأضلاع الصغيرة للحصول على الطول الكلي.

الصيغة

طول الخطوة الصغيرة هو $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}\,dt$.
بالتكامل على فترة الزمن:
$$L=\int_a^b \sqrt{\Big(\tfrac{dx}{dt}\Big)^2+\Big(\tfrac{dy}{dt}\Big)^2}\,dt$$
يتم تربيع كل من المشتقتين المركبتين، جمعهما، أخذ الجذر، والتكامل بالنسبة لـ $t$.

تدريب

طول قوس المنحنى البارامتري هو $\int_a^b(\ ?\ )\,dt$ حيث كثافة التكامل هي...

$\sqrt{1+(dy/dx)^2}$
$\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$
$(dx/dt)+(dy/dt)$
$\sqrt{(dx/dt)^2-(dy/dt)^2}$

تدريب

لـ $x=t^2$، $y=t^3$: $(dx/dt)^2+(dy/dt)^2=$

$4t^2+9t^4$
$2t+3t^2$
$4t^2-9t^4$
$t^2$

دالة التكامل هي السرعة

$\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}$ هي بالضبط السرعة للنقطة المتحركة.
السرعة هي المسافة لكل وحدة زمن؛ تكامل السرعة مع مرور الزمن يعطي المسافة الكلية.
لذا طول القوس = تكامل السرعة — النسخة البارامترية لـ "المسافة = ∫ السرعة dt".
يرتبط هذا مباشرة بمشاكل الحركة (الدرس 9.6).

استكشف

الطول هو تكامل السرعة

y = ax^{1.5}

كثافة التكامل لطول القوس البارامتري هي سرعة النقطة — تكامل السرعة عبر الزمن يعطي المسافة المقطوعة.

تدريب

كثافة تكامل طول القوس البارامتري تساوي ____ النقطة.

تدريب

طول القوس البارامتري هو نفس التكامل المستخدم لجسيم...

إزاحة
المسافة المقطوعة
التسارع
القيمة المتوسطة

إعداد المسألة عملياً

احسب $\tfrac{dx}{dt}$ و$\tfrac{dy}{dt}$، مربّعهما واجمعهما، خذ الجذر.
أكمل التكامل من $t$ البداية إلى $t$ النهاية (فترة الـ $t$، وليس $x$ أو $y$).
تتطلب العديد من هذه التكاملات آلة حاسبة؛ والمهارة المقيّدة هي الإعداد.
احتفظ بالمشتقتين — إحداهما تفقد الحركة القطرية.

تدريب

حدود التكامل لطول القوس البارامتري هي قيم $t$.

تدريب

يمكنك تجاهل $\tfrac{dy}{dt}$ إذا كانت $\tfrac{dx}{dt}$ أكبر.

Watch out

الحدود هي قيم $t$ (فترة الزمن)، ويظهر كلا $\tfrac{dx}{dt}$ و$\tfrac{dy}{dt}$، كل منهما مربّع تحت الجذر. لا تستخدم حدود $x$، ولا تنسَ أحد المشتقتين. هذا هو نفس "تكامل السرعة" للمسافة المقطوعة — ليس كمية ذات إشارة، لذا لا حاجة للقيم المطلقة (الجذر هو بالفعل $\ge0$).

Example

أوجد طول $x=t^2,\ y=t^3$ من أجل $0\le t\le 1$.

$\tfrac{dx}{dt}=2t$، $\tfrac{dy}{dt}=3t^2$؛ مجموع المربعات $=4t^2+9t^4=t^2(4+9t^2)$.
$L=\displaystyle\int_0^1 \sqrt{t^2(4+9t^2)}\,dt=\int_0^1 t\sqrt{4+9t^2}\,dt$.
استبدال $u$ بـ $u=4+9t^2$: $=\tfrac{1}{27}\big(13^{3/2}-8\big)\approx1.44$.

Key idea

طول القوس للمنحنى البارامتري هو $L=\int_a^b\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}\,dt$ على فترة $t$. دالة التكامل هي سرعة النقطة، لذا هذا هو تكامل السرعة = المسافة المقطوعة. مربّع كل من المشتقتين المركبتين تحت جذر واحد.