المشتقات الثانية للمعادلات البارامترية
المشتقة الثانية لمنحنى بارامتري
- وجدنا $\tfrac{dy}{dx}$ لمنحنى بارامتري. الآن: كيف منحني هو؟ هذا يتطلب $\tfrac{d^2y}{dx^2}$.
- الفخ: لا يمكنك ببساطة قسمة المشتقات الثانية في $t$.
- بدلاً من ذلك، اشتق الميل الأول $\tfrac{dy}{dx}$ بالنسبة لـ $t$، ثم قسم على $\tfrac{dx}{dt}$ مرة أخرى.
- إنه قاعدة الميل البارامتري، مطبقة مرة ثانية على $\tfrac{dy}{dx}$.
الصيغة الصحيحة
- تعامل مع المشتقة الأولى $\tfrac{dy}{dx}$ كدالة جديدة لـ $t$، وأخذ ميله البارامتري:
-
$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}$$
- اشتق $\tfrac{dy}{dx}$ بالنسبة لـ $t$، ثم قسم على $\tfrac{dx}{dt}$ (نفس المقام مثل السابق).
- إشارتان الانحناء تأتيان من هذا، تماماً مثل أي $f''$ عادي.
التقعر لمنحنى بارامتري
y = ax³ + bx
المشتقة الثانية البارامترية تخبرنا بالتقعر — تُحسب باشتقاق $\tfrac{dy}{dx}$ بالنسبة لـ $t$، ثم القسمة على $\tfrac{dx}{dt}$.
المشتقة الثانية البارامترية $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ تساوي...
اشتق $\tfrac{dy}{dx}$ بالنسبة لـ $t$، ثم اقسم على $\tfrac{dx}{dt}$.
رتّب الخطوات لإيجاد المشتقة الثانية البارامترية.
الميل، اشتق في $t$، واقسم على $\tfrac{dx}{dt}$.
لماذا ليست النسبة الواضحة
- إنها ليست $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$ — هذا الاختصار خاطئ.
- $\tfrac{dy}{dx}$ هو بالفعل قسمة لمشتقات $t$، لذا فإن اشتقاقها يتطلب قاعدة القسمة (في $t$)، وليس نسبة مشتقة ثانية بدائية.
- العملية الصحيحة تمر دائمًا بـ $\tfrac{d}{dt}\big(\tfrac{dy}{dx}\big)$ أولاً.
- تخطي ذلك يعطي الإجابة الخاطئة الكلاسيكية.
المشتقة الثانية البارامترية تساوي $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$.
تلك النسبة البسيطة خاطئة.
الروتين المكون من خطوتين
- 1. أوجد $\tfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ وبسّطه.
- 2. اشتق ذلك بالنسبة لـ $t$، ثم قسّم على $\tfrac{dx}{dt}$.
- مقعر للأعلى حيث $\tfrac{d^2y}{dx^2}>0$، ومقعر للأسفل حيث $<0$ — تماماً كالمعتاد.
- احتفظ بنفس المقام $\tfrac{dx}{dt}$ في كلتا الخطوتين.
لـ $x=t^2$، $y=t^3$ ($\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{3t}{2}$)، $\dfrac{d^2y}{dx^2}=$
$\frac{d}{dt}(\tfrac{3t}{2})=\tfrac32$؛ اقسم على $2t$: $\tfrac{3}{4t}$.
بعد اشتقاق $\tfrac{dy}{dx}$ بالنسبة لـ $t$، تقسم على $\dfrac{dx}{dt}$، وهو المقام ____ المشتقة الأولى.
كلا الخطوتين يقسمان على $\tfrac{dx}{dt}$.
إشارة المشتقة الثانية البارامترية تخبرك بـ...
موجب → مقعر للأعلى، سالب → مقعر للأسفل.
المشتقة الثانية ليست $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. يجب عليك اشتقاق المشتقة الأولى $\tfrac{dy}{dx}$ بالنسبة لـ $t$ ثم القسمة على $\tfrac{dx}{dt}$ مرة أخرى. استخدام النسبة البديهة للمشتقات الثانية هو الخطأ الأكثر شيوعاً في المسائل البارامترية.
من أجل $x=t^2,\ y=t^3$ (مما يعني $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{3t}{2}$)، أوجد $\tfrac{d^2y}{dx^2}$.
- $\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{3t}{2}\right)=\dfrac{3}{2}$.
- اقسم على $\dfrac{dx}{dt}=2t$: $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{3/2}{2t}=\dfrac{3}{4t}$.
- (وليس $\tfrac{6t}{2}=3t$، وهو ما ستعطيه النسبة الخاطئة.)
المشتق الثاني البارامترية هو $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$ — اشتق الميل الأول $\tfrac{dy}{dx}$ بالنسبة لـ $t$، ثم قسمة على $\tfrac{dx}{dt}$ مرة أخرى. إنه ليس $\frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. إعطاؤه للإشارة يمنح تقعراً كما هو معتاد.