منحنى يرسمه معامل بارامتر
| English | العربية |
|---|---|
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | المعادلات البارامترية |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | معامل |
منحنى يرسمه نقطة متحركة
- بدلاً من $y=f(x)$، وصف المنحنى عن طريق إعطاء $x$ و$y$ كدالة لكل منهما في متغير ثالث.
- هذه معادلات بارامترية: $x=f(t)$ و$y=g(t)$، مع بارامتر $t$.
- اعتبر $t$ كتوقت: أثناء تشغيل $t$، ترسم النقطة $\big(x(t),y(t)\big)$ المنحنى.
- هذا يسمح لك برسم حلقات وتمددات رأسية لا يمكن لأي $y=f(x)$ مفرد فعله.
منحنى يتتبعه معامل
y = ax³ + bx
الأعلى فوق الأسفل: $y=f(x)$.
في $x=f(t)$، $y=g(t)$، المتغير $t$ يُسمى الـ ____.
المعامل يحرك كلتا الإحداثيين.
البارامتر يقود الإحداثيين معاً
- عند كل $t$، عوض في كلا المعادلتين لتحصل على نقطة $\big(x(t),y(t)\big)$.
- المنحنى هو المسار الذي يمسحه $t$ مع ازدياده — مع اتجاه للحركة.
- مثال: $x=\cos t,\ y=\sin t$ يرسم دائرة الوحدة عكس عقارب الساعة.
- استبعاد $t$ (عندما يكون ذلك ممكناً) يستعيد علاقة بين $x$ و$y$.
أي من المعادلات البارامترية ترسم دائرة الوحدة؟
$\cos^2 t+\sin^2 t=1$ يرسم دائرة الوحدة.
الميل $\tfrac{dy}{dx}$ من المشتقات في $t$
- لإيجاد ميل المنحنى، اشتق كل إحداثي في $t$ وقسم:
-
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$$
- كل من $\tfrac{dy}{dt}$ و$\tfrac{dx}{dt}$ يأتيان من المعادلتين؛ ونسبتهما هي الميل.
- (هذا هو قاعدة السلسلة: $\tfrac{dy}{dt}=\tfrac{dy}{dx}\cdot\tfrac{dx}{dt}$، مُعادلة.)
بالنسبة لمنحنى بارامטרי، $\dfrac{dy}{dx}=$
الأعلى فوق الأسفل: $\frac{dy/dt}{dx/dt}$.
لـ $x=t^2$، $y=t^3$، $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t}{2}$. أوجد الميل عند $t=2$.
$\frac{3(2)}{2}=3$.
المماسات الأفقية والرأسية
- مماس أفقي: $\tfrac{dy}{dt}=0$ (و$\tfrac{dx}{dt}\neq0$) — الميل يساوي $0$.
- مماس رأسي: $\tfrac{dx}{dt}=0$ (و$\tfrac{dy}{dt}\neq0$) — الميل غير معرف.
- تأتي هاتان مباشرة من مشتقتي المركبتين.
- لذا يعطي نفس $\tfrac{dy}{dt}$ و$\tfrac{dx}{dt}$ كل من الميل وحالاته الخاصة.
يكون للمنحنى المعادل مماسًا أفقيًا حيث...
يحدث مماس عمودي حيث $0$ ____ (و$\tfrac{dy}{dt}=0$).
يحدث مماس عمودي حيث $\dfrac{dx}{dt}=$ ____ (و $\tfrac{dy}{dt}\neq0$).
صفر $\tfrac{dx}{dt}$ → ميل غير معرف → عمودي.
الميل هو $\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ — نسبة بين المشتقتين، ليس $\dfrac{d}{dt}\big[\tfrac yx\big]$ أو $\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dx}{dt}$. وهو الأعلى مقسوماً على الأسفل: $\tfrac{dy}{dt}$ مقسوماً على $\tfrac{dx}{dt}$. تبديلهما يعكس الميل.
بالنسبة لـ $x=t^2,\ y=t^3$، أوجد $\dfrac{dy}{dx}$ عند $t=2$.
- $\dfrac{dx}{dt}=2t$, $\dfrac{dy}{dt}=3t^2$.
- $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2}{2t}=\dfrac{3t}{2}$.
- عند $t=2$: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3(2)}{2}=3$.
المعادلات البارامترية $x=f(t)$ و$y=g(t)$ ترسم منحنى بينما يتغير البارامتر $t$. الميل هو $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ (الأعلى مقسوماً على الأسفل). المماس الأفقي له $\frac{dy}{dt}=0$؛ والمماس الرأسي له $\frac{dx}{dt}=0$.