المنحنى أطول من وتره

مفردات

English	العربية
Arc length/ɑːk leŋθ/	طول القوس

قياس طول المنحنى

كانت المساحة والحجم تكاملات، وكما هو الحال مع طول المنحنى نفسه.
يجمع طول القوس أطوال قطع مستقيمة صغيرة على طول المنحنى.
على كل قطعة صغيرة، يكون المنحنى تقريباً خطاً مستقيماً — وهو الوتر لمثلث قائم الزاوية صغير.
اجمع هذه الأوتار (تكامل) للحصول على الطول الكلي.

من المثلث الصغير إلى الصيغة

القطعة الصغيرة لها انحدار أفقي $dx$ وارتفاع عمودي $dy=f'(x)\,dx$.
طوله هو $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ (بايثاغورس).
اجمعها من $a$ إلى $b$:
$$L=\int_a^b \sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$$

استكشف

y = a·x^{1.5}

طول قوس $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$ على $b-a$ هو...

تدريب

طول القوس لـ $y=f(x)$ على الفترة $[a,b]$ هو...

$\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx$
$\int_a^b \sqrt{1+f(x)^2}\,dx$
$\int_a^b f'(x)\,dx$
$\int_a^b (1+f'(x))\,dx$

استخدام الصيغة

احسب $f'(x)$، تربيعه، أضف $1$، خذ الجذر التربيعي، ثم أكمل التفاضل على $[a,b]$.
الدالة المُكاملة دائماً $\ge1$، لذا فإن طول القوس يكون على الأقل المسافة الأفقية $b-a$ (المنحنى أطول من الخط المستقيم).
العديد من تكاملات طول القوس صعبة بالحساب اليدوي؛ في امتحان BC غالباً ما تكتفي بوضعها وحسابها عددياً.
المهارة الأساسية هي بناء الدالة المُكاملة بشكل صحيح من $f'$.

تدريب

لـ $y=\tfrac23 x^{3/2}$، $f'(x)=x^{1/2}$. دالة التكامل لطول القوس هي...

$\sqrt{1+x}$
$\sqrt{1+x^2}$
$1+x$
$\sqrt{x}$

تدريب

قيّم $\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx$ (كعدد عشري).

تدريب

المسافة الأفقية $\ge 1$

صفر
المسافة الأفقية $b-a$
لا نهائي
$1$

طول القوس كمسافة قطرها الجسم

إذا تحرك جسيم على طول $y=f(x)$، فإن طول القوس هو المسافة التي يقطعها على طول المسار.
(للحركة المعطاة بـ $x(t),y(t)$، تأتي النسخة البارامترية في الدرس 9.3.)
لذلك يقيس هذا التكامل نفس الشيء كل من الطول الهندسي للمنحنى والمسافة المقطوعة للمسار.
الإعداد متطابق؛ يتغير فقط التفسير.

تدريب

دالة تكامل طول القوس تستخدم المشتقة $f'(x)$، لا $f(x)$.

تدريب

على طول مسار $y=f(x)$، يقيس طول القوس أيضًا ____ المقطوع.

Watch out

الدالة المُكاملة هي $\sqrt{1+(f'(x))^2}$ — يتم تربيع المشتقة، ويوجد $\boldsymbol{+1}$ داخل الجذر، وليس خارجه. لا تكتب $\sqrt{1+f(x)^2}$ (باستخدام $f$ بدلاً من $f'$) ولا تنسَ $+1$. والكل موضوع تحت جذر تربيعي واحد قبل التكامل.

Example

أعد إعداد طول القوس لـ $y=\tfrac23 x^{3/2}$ من $x=0$ إلى $x=3$.

$f'(x)=x^{1/2}$، وبالتالي $\big(f'(x)\big)^2=x$.
$L=\displaystyle\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx=\Big[\tfrac23(1+x)^{3/2}\Big]_0^3=\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}$.

Key idea

طول القوس لـ $y=f(x)$ على $[a,b]$ هو $L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ — بجمع أوتار صغيرة $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$. قم بتربيع المشتقة، وأضف $1$ داخل الجذر، ثم أكمل التفاضل. يعطي أيضاً المسافة المقطوعة على طول المسار.