الحجم بطريقة القرص: الدوران حول محاور أخرى
الدوران حول خط مزاح
- ماذا لو قمت بتدوير منطقة ليس حول محور، بل حول خط مثل $y=-1$ أو $x=3$؟
- ما تزال طريقة الأقراص تعمل — فقط قم بقياس نصف القطر من المنحنى إلى ذلك المحور المزاح.
- المعادلة $V=\pi\int R^2$ تظل كما هي؛ فقط $R$ تحتاج إلى تعديل.
- الحصول على نصف القطر بشكل صحيح هو جوهر المسألة.
نصف القطر = المسافة إلى المحور الجديد
- عند الدوران حول خط أفقي $y=k$: نصف القطر هو الفاصل العمودي $R=|f(x)-k|$.
- عند الدوران حول خط عمودي $x=k$: نصف القطر هو الفاصل الأفقي $R=|g(y)-k|$.
- اطرح قيمة المحور من قيمة المنحنى (في المتغير الصحيح) للحصول على المسافة.
- ثم تربّع، اضرب في $\pi$، وأعد التكامل كالمعتاد.
المنحنى فوق محور مُزاح
y = a·√x
الدوران حول $y=-1$ يجعل نصف القطر يمتد من المنحنى لأسفل إلى تلك الخط — $R=f(x)+1$، أكبر من $f(x)$.
دوران $y=f(x)$ حول الخط $y=-1$، نصف القطر هو...
المسافة من $f(x)$ لأسفل إلى $y=-1$ هي $f(x)-(-1)=f(x)+1$.
الدوران حول $y=k$ (أسفل المنطقة)، نصف قطر المنحنى $f(x)$ هو...
قيمة المنحنى ناقص قيمة المحور: $f(x)-k$.
الدوران حول خط رأسي $x=k$، نصف القطر هو المسافة ____ $|g(y)-k|$.
بالنسبة لمحور رأسي، قِس أفقيًا.
المحور أسفل المنطقة
- إذا كان المحور $y=k$ أسفل المنطقة، فإن المنحنى يكون فوقه، لذا $R=f(x)-k$ (وهو فاصل موجب).
- مثال: عند الدوران حول $y=-1$ لمنحنى يقع على ارتفاع $f(x)$، يكون نصف القطر $R=f(x)-(-1)=f(x)+1$.
- "$+1$" تمثل المسافة الإضافية لأسفل نحو المحور المزاح.
- ارسمها دائماً: يمتد نصف القطر من المنحنى إلى المحور.
إذا كان المحور $y=3$ يقع أعلى المنطقة (المنحنى $f(x)<3$)، فإن نصف القطر هو...
المسافة هي المحور ناقص المنحنى: $3-f(x)$ (فجوة موجبة).
لا تعيد استخدام نصف قطر المحور العادي
- الخطأ الأكثر شيوعاً هو نسيان الإزاحة: استخدام $R=f(x)$ عندما يكون المحور $y=-1$.
- هذا يقلل من تقدير نصف القطر بمقدار الإزاحة، مما يعطي حجماً خاطئاً (صغيراً جداً).
- أعد كتابة نصف القطر كـ (قيمة المنحنى) $-$ (قيمة المحور) في كل مرة لا يكون فيها المحور $y=0$ أو $x=0$.
- رسم قطعة المسافة يمنع هذا الخطأ.
عند الدوران حول $y=-1$، لا يزال بإمكانك استخدام نصف قطر $R=f(x)$.
يجب عليك الإزاحة: $R=f(x)+1$.
دوران $y=\sqrt x$ على $[0,4]$ حول $y=-1$ يعطي نصف قطر $\sqrt x+1$، إذن $V=$
$\pi\int_0^4(x+2\sqrt x+1)\,dx=\pi(8+\tfrac{32}{3}+4)=\tfrac{68\pi}{3}$.
بالنسبة لـ محور مزاح، نصف القطر هو المسافة من المنحنى إلى ذلك الخط، مثلاً $R=f(x)-k$ لـ $y=k$ — وليس مجرد $f(x)$. الدوران حول $y=-1$ يجعل نصف القطر أكبر (أضف $1$)؛ أما عن $y=3$ أعلى المنطقة فيجعله $3-f(x)$. قِس دائماً إلى المحور الصحيح قبل التربيع.
أدر المنطقة الواقعة تحت $y=\sqrt x$ على $[0,4]$ حول المستقيم $y=-1$.
- يمتد نصف القطر من المنحنى لأسفل إلى $y=-1$: $R(x)=\sqrt x-(-1)=\sqrt x+1$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt x+1)^2\,dx=\pi\int_0^4 \big(x+2\sqrt x+1\big)\,dx$.
- $=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{4}{3}x^{3/2}+x\Big]_0^4=\pi\big(8+\tfrac{32}{3}+4\big)=\tfrac{68\pi}{3}$.
طريقة القرص حول محور مزاح تحتفظ بـ $V=\pi\int R^2$، لكن نصف القطر هو المسافة من المنحنى إلى ذلك الخط: $R=f(x)-k$ من أجل $y=k$، أو $g(y)-k$ من أجل $x=k$. عدل $R$ بالنسبة للإزاحة (محور أسفل المنطقة يضيف لنصف القطر)؛ لا تعيد استخدام نصف قطر المحور العادي.