الحجم بطريقة الحلقة: الدوران حول محور x أو y
| English | العربية |
|---|---|
| washer/ˈwɒʃə/ | الخاتم |
| washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/ | طريقة الخاتم |
| inner radius/ˈɪnə ˈreɪdɪəs/ | نصف القطر الداخلي |
| outer radius/ˈaʊtə ˈreɪdɪəs/ | نصف القطر الخارجي |
قرص به ثقب
- عند تدوير منطقة تحتوي على فراغ بين منحنيين، لا تكون الشريحة قرصاً صلباً — بل حلقة.
- هذه الحلقة (قرص بثقب دائري مثقوب فيه) تسمى الغلافة (Washer).
- مساحتها هي الدائرة الكبيرة ناقص الدائرة الصغيرة: $\pi R^2-\pi r^2$.
- جمع الغلافا هو طريقة الغلافا (Washer Method).
تظهر الحلقة (بدلاً من القرص) عندما...
الفجوة تترك ثقبًا → حلقة.
نصف القطر الخارجي ناقص الداخلي
- لكل غلافة نصف قطر خارجي $R$ (إلى المنحنى البعيد) ونصف قطر داخلي $r$ (إلى المنحنى القريب).
- مساحتها $\pi\big(R^2-r^2\big)$، لذلك:
-
$$V=\pi\int_a^b \Big(\big[R(x)\big]^2-\big[r(x)\big]^2\Big)\,dx$$
- عند الدوران حول محور $x$، $R$ و$r$ هما المسافتان من المنحنيين إلى المحور.
منحنيان يصنعان حلقة
y = ax² + bx
بين $y=x$ و$y=\sqrt x$ توجد فجوة من المحور — الدوران ينتج حلقات بنصف قطر خارجي $\sqrt x$، داخلي $x$.
حجم طريقة الحلقة هو...
الدائرة الكبيرة ناقص الدائرة الصغيرة: $\pi(R^2-r^2)$.
في الحلقة، $R$ هو نصف القطر ____ (إلى المنحنى البعيد) و$r$ نصف القطر الداخلي.
الخارجي للمنحنى البعيد، والداخلي للمنحنى القريب.
تحديد $R$ و$r$
- $R$ (الخارجي) يأتي من المنحنى الأبعد عن المحور؛ $r$ (الداخلي) من المنحنى الأقرب.
- دوران المنطقة بين $y=f(x)$ (الأعلى) و$y=g(x)$ (الأدنى) حول محور $x$: $R=f(x)$، $r=g(x)$.
- الثقب موجود لأن المنحنى السفلي لا يصل إلى المحور.
- تربّع كل نصف قطر بشكل منفصل قبل الطرح.
دوران المنطقة بين $y=\sqrt x$ (الأعلى) و$y=x$ (الأدنى) حول محور $x$، نصف القطر الخارجي هو...
المنحنى الأبعد عن المحور، $\sqrt x$، هو نصف القطر الخارجي.
تربّع أولاً، ثم اطرح
- المساحة هي $\pi(R^2-r^2)$، وليس $\pi(R-r)^2$ — قم بتربيع كل نصف قطر قبل الطرح.
- $(R-r)^2$ سيشمل مصطلحاً متقاطعاً خاطئاً ويعطي حجماً خاطئاً.
- لذا احسب $R^2$ و$r^2$ كل منهما، اطرحهما، ثم أعد التكامل واضرب في $\pi$.
- هذا هو الخطأ الأكثر شيوعاً في طريقة الغلافا.
مدخل التكامل لطريقة الحلقة $R^2-r^2$ هو نفسه $(R-r)^2$.
ربّع كل نصف قطر أولاً؛ $(R-r)^2$ غير صحيح.
بالنسبة لـ $R=\sqrt x$، $r=x$ على $[0,1]$: $V=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=$
$\pi(\tfrac12-\tfrac13)=\tfrac{\pi}{6}$.
تكامل الغلافا هو $R^2-r^2$، وليس $(R-r)^2$ — تربّع الأنصاف قطرية قبل الطرح. واحفظ $R$ (الخارجي، للمنحنى البعيد) منفصلاً عن $r$ (الداخلي، للمنحنى القريب)؛ تبديلهما، أو استخدام $(R-r)^2$، كلاهما يعطي حجماً خاطئاً. تظهر الغلافة فقط عندما يوجد فراغ يفصل المنطقة عن المحور.
أدر المنطقة المحصورة بين $y=x$ (الأسفل) و$y=\sqrt x$ (الأعلى) على $[0,1]$ حول محور $x$.
- نصف القطر الخارجي $R=\sqrt x$، نصف القطر الداخلي $r=x$ (على $[0,1]$، $\sqrt x\ge x$).
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\big((\sqrt x)^2-x^2\big)\,dx=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\pi\Big(\tfrac12-\tfrac13\Big)=\tfrac{\pi}{6}$.
طريقة الغلافا تدور منطقة ذات فراغ لتكوين حلقات: $V=\pi\int_a^b\big(R^2-r^2\big)\,dx$، حيث $R$ هو نصف القطر الخارجي (المنحنى البعيد) و$r$ هو نصف القطر الداخلي (المنحنى القريب). تربّع كل نصف قطر قبل الطرح — $R^2-r^2$، لا $(R-r)^2$ أبداً.