الحجم بطريقة القرص: الدوران حول محور x أو y
| English | العربية |
|---|---|
| disc/dɪsk/ | القرص |
| disc method/dɪsk ˈmeθəd/ | طريقة القرص |
تدوير منطقة لتكوين جسم صلب
- خذ منطقة، وادورها حول محور، وستنشئ جسم دوران.
- قم بتقطيعها عمودياً على المحور، وكل شريحة ستكون قرصاً رفيعاً (عملة معدنية).
- اجمع أحجام الأقراص: طريقة الأقراص.
- هي صيغة المقطع العرضي بشرائح دائرية.
كل شريحة في طريقة القرص هي...
الدوران ينشئ أقراصًا دائرية.
صيغة القرص
- كل قرص هو دائرة نصف قطرها $R$ وسماكتها $dx$، لذا حجمه $\pi R^2\,dx$.
- إذا دارت المنطقة بين $y=R(x)$ والمحور حول محور $x$:
-
$$V=\pi\int_a^b \big[R(x)\big]^2\,dx$$
- الشعاع $R(x)$ هو المسافة من المنحنى إلى محور الدوران — هنا ببساطة $f(x)$.
الملف الذي يدور لتكوين أقراص
y = a·√x
دوران $y=\sqrt x$ حول محور $x$ يراكم أقراصًا بنصف قطر $\sqrt x$ — الحجم $\pi\int R^2\,dx$.
دوران $y=R(x)$ حول محور $x$، الحجم هو...
كل قرص هو $\pi R^2\,dx$.
الدوران حول محور y
- هل تدور حول محور $y$ بدلاً من ذلك؟ قص أفقياً واكتب الشعاع بدلالة $y$.
-
$$V=\pi\int_c^d \big[R(y)\big]^2\,dy$$
- الآن $R(y)$ هي المسافة الأفقية من المنحنى $x=g(y)$ إلى محور $y$.
- نفس الصيغة، مدمجة بدلالة $y$، مع قياس الشعاع أفقياً.
في طريقة القرص، نصف القطر $R$ هو ____ من المنحنى إلى محور الدوران.
نصف القطر = المسافة إلى المحور.
الدوران حول محور $y$، تكاملك في $y$ باستخدام...
طابق المتغير بالمحور: محور $y$ → $R(y)$، تكامل في $y$.
الشعاع هو مسافة
- المهارة الأساسية: تحديد $R$ بشكل صحيح كمسافة من المنحنى إلى المحور.
- عند الدوران حول محور $x$، يعطي المنحنى $y=f(x)$ شعاعاً $R=f(x)$ (ارتفاعه).
- عند الدوران حول محور $y$، يعطي المنحنى $x=g(y)$ شعاعاً $R=g(y)$.
- تربّع الشعاع، اضربه في $\pi$، وأعد التكامل على طول المحور.
دوران $y=\sqrt x$ على $[0,4]$ حول محور $x$ ($R^2=x$) يعطي $V=$
$\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\cdot8=8\pi$.
تشمل طريقة القرص عامل $\pi$ وتربّع نصف القطر.
$V=\pi\int R^2$.
لا تنسَ $\pi$ والتربيع — طريقة الأقراص هي $\pi\int R^2$، وليست $\int R$. وطبّق متغير التكامل على المحور: دوران حول محور $x$ → تكامل بدلالة $x$ مع $R(x)$؛ حول محور $y$ → تكامل بدلالة $y$ مع $R(y)$. خلطهما خطأ شائع.
أدر المنطقة تحت $y=\sqrt x$ على $[0,4]$ حول محور $x$.
- الشعاع $R(x)=\sqrt x$، لذا $R^2=x$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8\pi$.
- كل قرص هو دائرة نصف قطرها $\sqrt x$ مرصوصة على طول محور $x$.
طريقة القرص تدور منطقة حول محور لتكوين شرائح دائرية: $V=\pi\int_a^b[R(x)]^2\,dx$ حول محور $x$، أو $\pi\int_c^d[R(y)]^2\,dy$ حول محور $y$. نصف القطر $R$ هو المسافة من المنحنى إلى المحور. لا تحذف أبداً $\pi$ أو التربيع.