الأحجام ذات المقاطع العرضية: المثلثات والأقواس النصفية
نفس الفكرة، أشكال شرائح مختلفة
- وصفة الحجم $V=\int_a^b A(x)\,dx$ تعمل لأي شكل للمقطع العرضي — فقط تحتاج $A(x)$.
- خارج المربعات، تفضل امتحانات AP المقاطع العرضية المثلثية والدائرية النصفية.
- الخطوة الجديدة الوحيدة هي الصيغة الصحيحة للمساحة لهذا الشكل، مكتوبة بدلالة القاعدة.
- احصل على $A(x)$ من الهندسة، ثم أعد التكامل كما سبق.
المقاطع العرضية المثلثية
- بالنسبة لمثلث متساوي الأضلاع ضلعه $s$: المساحة $=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$.
- بالنسبة لمثلث قائم متساوي الساقين بضلعين $s$: المساحة $=\dfrac12 s^2$؛ والمثلث العام: $\tfrac12\,\text{base}\times\text{height}$.
- استخدم طول القاعدة $s(x)$ (الفاصل الذي تمتده عليه الشريحة) في صيغة مساحة المثلث الصحيحة.
- $A(x)=(\text{shape constant})\cdot s(x)^2$، ثم أعد التكامل.
القاعدة التي تتغير شرائحها
y = a·√x
نفس منطقة القاعدة تعطي أحجامًا مختلفة اعتمادًا على شكل الشريحة — فقط ثابت المساحة مضروبًا في $s(x)^2$ يتغير.
مساحة المثلث المتساوي الأضلاع مع ضلع $s$ هي...
المثلث المتساوي الأضلاع: $\frac{\sqrt3}{4}s^2$.
طابق كل شكل مقطع عرضي بثابت مساحته (في ضرب $s^2$).
كل مساحة تساوي ثابتها مضروبًا في مربع القاعدة.
المقاطع العرضية الدائرية النصفية
- نصف الدائرة قطرها $s$ لها شعاع $\dfrac{s}{2}$، لذا مساحتها $\dfrac12\pi\Big(\dfrac{s}{2}\Big)^2=\dfrac{\pi}{8}s^2$.
- قاعدة الشريحة هي القطر، لذا نقسمه لنصفه للحصول على الشعاع قبل التربيع.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}\big(s(x)\big)^2$.
- انتبه لهذا العامل: القطر $\to$ = الشعاع هو قسمة على اثنين يمكن سهلاً تجاهلها.
للمقطع العرضي الدائري النصف، القطر يقع على القاعدة $s(x)$. نصف قطره هو...
القاعدة هي القطر، لذا نصف القطر هو النصف.
لنصف دائرة قطرها هو القاعدة $s$، يجب قسمة $s$ على النصف للحصول على نصف القطر قبل التربيع.
نصف قطر $=s/2$؛ نسيان ذلك خطأ شائع.
إنه دائماً "المساحة بدلالة القاعدة"
- كل هذه الحالات هي $A(x)=(\text{constant depending on shape})\times s(x)^2$.
- المربع $\to 1$؛ المثلث متساوي الأضلاع $\to \tfrac{\sqrt3}{4}$؛ نصف الدائرة $\to \tfrac{\pi}{8}$؛ القائم المتساوي الساقين $\to \tfrac12$.
- أوجد القاعدة $s(x)$ من المنطقة، عوض في مساحة الشكل، وأعد التكامل.
- حساب التفاضل والتكامل متطابق؛ يتغير فقط الثابت الرئيسي.
القاعدة تحت $y=\sqrt x$ على $[0,4]$، شرائح نصف دائرية: $A(x)=\tfrac{\pi}{8}x$. ثم $V=$
$\tfrac{\pi}{8}\int_0^4 x\,dx=\tfrac{\pi}{8}\cdot8=\pi$.
حجم كل مقطع عرضي هو $\int_a^b A(x)\,dx$، حيث $A(x)$ = (ثابت الشكل) $\times s(x)$ ____.
تتناسب المساحات مع مربع القاعدة.
بالنسبة لـنصف الدائرة، قاعدة الشريحة هي القطر، لذا الشعاع هو $\frac{s}{2}$ — لا تربّع القاعدة بأكملها وكأنها الشعاع. وطبّق صيغة المثلث على النوع المذكور (متساوي الأضلاع مقابل قائم متساوي الساقين)؛ فلديهما ثوابت مختلفة. القاعدة $s(x)$ لا تزال الفاصل الذي تمتده عليه الشريحة.
القاعدة هي المنطقة تحت $y=\sqrt x$ على $[0,4]$؛ المقاطع العرضية هي أدوار دائرية نصفية قطرها على القاعدة.
- القطر $s(x)=\sqrt x$، لذا الشعاع $=\dfrac{\sqrt x}{2}$.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}(\sqrt x)^2=\dfrac{\pi}{8}x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 \dfrac{\pi}{8}x\,dx=\dfrac{\pi}{8}\cdot 8 = \pi$.
بالنسبة لـالمقاطع المثلثية أو الدائرية النصفية، استخدم $V=\int_a^b A(x)\,dx$ مع مساحة الشكل: مثلث متساوي الأضلاع $\frac{\sqrt3}{4}s^2$، قائم متساوي الساقين $\frac12 s^2$، نصف دائرة $\frac{\pi}{8}s^2$ (القاعدة $=$ قطر، لذا الشعاع $=\frac s2$). أوجد القاعدة $s(x)$ وأعد التكامل.