تطبيق خصائص التكاملات المحددة
Introduced| English | العربية |
|---|---|
| linearity/lɪˈnɪərɪti/ | استقامية |
قواعد تجعل التكاملات أسهل
- التكاملات المحدودة تخضع لجبر نظيف — نفس القواعد الودية التي تتمتع بها النهايات والمشتقات.
- تتيح لك هذه الخصائص تقسيم ودمج وإعادة ترتيب التكاملات دون إعادة حساب المساحات.
- معظمها ينتج مباشرة من "التكامل = المساحة ذات الإشارة."
- احفظ العدد القليل هنا وغالبًا ما تتبسط التكاملات الصعبة المظهر في خطوة واحدة.
$\int fg\,dx$ تساوي $\left(\int f\,dx\right)\left(\int g\,dx\right)$.
لا توجد قاعدة ضرب للتكاملات.
الخطية: فصل المجاميع وإخراج الثوابت
- ضرب ثابت: $\displaystyle\int_a^b k\,f(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$.
- المجموع / الفرق: $\displaystyle\int_a^b \big(f\pm g\big)\,dx = \int_a^b f\,dx \pm \int_a^b g\,dx$.
- معاً constitutes الخطية — اجمع حدًا تلو الآخر، وثوابت المعاملات في الأمام.
- تماماً مثل الاشتقاق، تتعامل مع التركيب قطعة بقطعة.
معطى $\int_0^4 f\,dx=10$ و$\int_0^4 g\,dx=3$، أوجد $\int_0^4 (2f-g)\,dx$.
$2(10)-3=17$.
الصفر العرض وتبديل الحدود
- الصفر العرض: $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$ — لا يوجد فترة، لا توجد مساحة.
- تبديل الحدود: $\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ — عكس الاتجاه ينفي القيمة.
- لذا فإن ترتيب الحدود يحمل إشارة.
- هاتان القاعدتان تبقيان الحسابات متناسقة عندما تتحرك الحدود.
ما هي $\int_5^5 f(x)\,dx$ لأي $f$؟
فترة عرضها صفر → $0$.
إذا $\int_1^4 f\,dx=7$، فإن $\int_4^1 f\,dx=$
تبديل الحدود يعكس الإشارة: $-7$.
حدد كل الخصائص الصالحة للتكاملات المحددة.
الأول والثاني والثالث صحيحان؛ قاعدة "الضرب" خاطئة.
تقسيم الفترة
- فترات مجاورة: $\displaystyle\int_a^c f\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx$.
- يمكنك تقسيم تكامل واحد إلى أجزاء عند أي نقطة داخلية $b$ وجمعها.
- هذا ضروري للدوال المقطعية والتكاملات واستخدام المساحات الجزئية المعطاة.
- يعمل أيضًا بالعكس: دمج تكاملين مجاورين في تكامل واحد.
قسّم المساحة عند نقطة داخلية
y = x²
المساحة من $a$ إلى $c$ تساوي المساحة من $a$ إلى $b$ زائد $b$ إلى $c$ — تنقسم التكاملات على فترات مجاورة.
إذا كان $\int_0^2 f\,dx=5$ و$\int_2^6 f\,dx=8$، فأوجد $\int_0^6 f\,dx$.
الفترات المجاورة تُضاف: $5+8=13$.
لا يوجد "قاعدة الضرب" للتكاملات: $\int fg\,dx \neq \left(\int f\,dx\right)\left(\int g\,dx\right)$. الخطية تفصل عبر المجاميع وضروب الثوابت فقط، لا الضرب أو القسمة. وتذكر أن تبديل الحدود يعكس الإشارة — نقطة سهلة الإهمال.
معطى $\displaystyle\int_0^4 f\,dx=10$ و$\displaystyle\int_0^4 g\,dx=3$، أوجد $\displaystyle\int_0^4\big(2f-g\big)\,dx$.
- الخطية: $\displaystyle\int_0^4 2f\,dx - \int_0^4 g\,dx = 2\int_0^4 f\,dx - \int_0^4 g\,dx$.
- $=2(10)-3=17$.
- لا حاجة لمعرفة $f$ أو $g$ نفسيهما — الخصائص تقوم بذلك.
خصائص التكامل المحدود: الخطية ($\int kf = k\int f$؛ $\int (f\pm g)=\int f\pm\int g$)، الصفر العرض ($\int_a^a f=0$)، تبديل الحدود ينفي ($\int_b^a f=-\int_a^b f$)، والتقسيم ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$). لا توجد قاعدة ضرب للتكاملات.