الحقل الجاذبي لكتلة نقطية
| English | العربية |
|---|---|
| orbit/ˈɔːbɪt/ | مدار |
| orbital speed/ˈɔːbɪtl spiːd/ | سرعة مدارية |
| satellite/ˈsætəlaɪt/ | قمر اصطناعي |
| Kepler's third law/ˈkepləz θɜːd lɔː/ | القانون الثالث لKepler |
| geostationary/ˌdʒiːəʊˈsteɪʃənəri/ | جيوستационаري |
| equator/ɪˈkweɪtə/ | استواء |
| free fall/friː fɔːl/ | السقوط الحر |
لماذا لا يسقط القمر
- القمر يسقط دائماً نحو الأرض — لكنه يتحرك أيضاً بسرعة أفقية.
- لذلك يظل يفوت هدفه: فهو في مدار.
- الجاذبية توفر بالضبط قوة الجذب المركزي اللازمة.
مجال كتلة نقطية
- على مسافة $r$ من كتلة $M$: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$ — حيث يتناقص مع $\dfrac{1}{r^{2}}$.
- بالقرب من سطح الأرض $r \approx R$ كبيرة جداً، لذا فإن تسلق مبنى لا يُغيّر $g$ تقريباً.
يتناقص شدة المجال مع 1/r²: مضاعفة المسافة تُربع قوة الجذب
تباعد خطوط المجال يشير إلى شدة المجال — خطوط أقرب تعني مجالاً أقوى
حقل كتلة نقطية
g ∝ M/r²
شدة المجال الجاذبي تخضع لـ قانون التربيع العكسي — نصف المسافة وتضاعف أربعة مرات.
شدة الحقل الجاذبي على مسافة $r$ من كتلة نقطية $M$ هي:
من $g = \dfrac{F}{m}$ مع $F = \dfrac{GMm}{r^{2}}$، تُلغى كتلة الاختبار: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$.
الصعود إلى مبنى شاهق يغير قيمة g بشكل كبير.
نصف قطر الأرض ~6400 كم، لذا فإن بضعة أمتار من الارتفاع لا يغيّر $r$ بشكل ملحوظ — $g$ ثابتة عملياً.
السرعة المدارية
- الجاذبية = قوة الجذب المركزي: $\dfrac{GMm}{r^{2}} = \dfrac{mv^{2}}{r}$.
- تُلغى كتلة $m$: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ — مستقلة عن كتلة القمر الصناعي.
سرعة القمر الصناعي المدارية لا تعتمد على كتلته الخاصة.
تُلغى كتلة $m$ في $\dfrac{GMm}{r^{2}} = \dfrac{mv^{2}}{r}$، مما يترك $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$.
قانون كبلر الثالث
- من $T = \dfrac{2\pi r}{v}$: $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}$، لذا $T^{2} \propto r^{3}$.
- رسم بياني لـ $T^{2}$ مقابل $r^{3}$ يكون خطاً مستقيماً — ميله يعطي الكتلة المركزية.
رسم T² مقابل r³ يعطي خطاً مستقيماً يمر بنقطة الأصل — ميله يحدد الكتلة المركزية M
قانون كبلر الثالث (للمدارات الدائرية) ينص على:
$T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}$، لذا فإن مربع الفترة الزمنية يتناسب مع مكعب نصف القطر.
إذا زاد نصف قطر المدار بمقدار factor 4، فإن الفترة الزمنية تزيد بمقدار factor:
$T \propto r^{3/2}$، لذا $T$ يتغير بمقدار $4^{3/2} = 8$.
مثال محلول: قمر اصطناعي فوق المريخ
قمر اصطناعي يدور حول المريخ (كتلته $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$، نصف قطره $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$) على ارتفاع $1.7 \times 10^{6}\ \text{m}$ فوق السطح. أوجد سرعته ودوره.
- نصف قطر المدار، من المركز: $r = 3.4 \times 10^{6} + 1.7 \times 10^{6} = 5.1 \times 10^{6}\ \text{m}$.
- السرعة: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{5.1 \times 10^{6}}} = 2.9 \times 10^{3}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- الدورة: $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi \times 5.1 \times 10^{6}}{2.9 \times 10^{3}} = 1.1 \times 10^{4}\ \text{s}$، حوالي ثلاث ساعات.
- التحقق: كتلة القمر الاصطناعي نفسه لم تظهر أبداً — كل قمر اصطناعي على هذا الارتفاع يتحرك بهذه السرعة. استخدام الارتفاع فقط لتحديد $r$ يعطي سرعة أعلى بكثير مما ينبغي.
قمر صناعي يدور حول الأرض (كتلتها $6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}$) على بعد نصف قطر $8.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ من المركز. ما سرعته المدارية بوحدة كم/ثانية؟
$v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24}}{8.0 \times 10^{6}}} = 7.1 \times 10^{3}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 7.1\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$.
مدار جغوستاشيوناري
- دورة 24 ساعة، مباشرة فوق خط الاستواء، يدور من الغرب إلى الشرق — نفس اتجاه دوران الأرض.
- تظل ثابتة فوق نقطة واحدة — مثالية لصحن الهوائي. من $r^{3} = \dfrac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}$ مع $T = 86\,400\ \text{s}$، نصف القطر هو $\approx 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$، على ارتفاع يقارب $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ فوق السطح.
حدد جميع خصائص القمر الصناعي المزموج.
إنه يطابق دوران الأرض (24 ساعة، غرباً إلى شرقاً) فوق خط الاستواء، لذلك يبقى ثابتاً فوق نقطة واحدة. المدار القطبي لا يفعل ذلك.
مدارات متزامنة في أماكن أخرى
- لكل كوكب مدار متزامن خاص به: الدورة تساوي دورة الكوكب، والمدار يقع فوق خط الاستواء، ويتحرك مع الدوران.
- يدور المريخ مرة واحدة في حوالي $25$ ساعات، لذا فإن قمر اصطناعي بدوره $25$-ساعة فوق خط استوائه يبقى فوق نقطة مارتية واحدة.
- تغيير الدورة يؤدي إلى تغير نصف القطر وفقاً لقانون كبلر: دورة أطول تعني مداراً أكبر.
في كل صيغة مدار $r$ تُقاس من مركز الكوكب — أضف نصف قطر الكوكب إلى الارتفاع. كتلة القمر الاصطناعي تُلغى، لذا فإن عبارة "القمر الاصطناعي الأثقل يجب أن يتحرك أسرع" خاطئة. المدار الجغوستاشيوناري يجب أن يكون فوق خط الاستواء: أي مدار آخر يعبر خط الاستواء مرتين يومياً ويهتز شمالاً وجنوباً كما يُرى من الأرض.
قمر صناعي على ارتفاع $600\ \text{km}$ فوق سطح كوكب نصف قطره $6400\ \text{km}$. في معادلات المدار، $r$ = ____ كم.
$r$ تُقاس من المركز: $6400 + 600 = 7000\ \text{km}$.
ليس عديم الوزن — بل ساقط
- عند ارتفاع محطة الفضاء $400\ \text{km}$، تكون $g = 9.81 \times \left(\dfrac{6370}{6770}\right)^{2} = 8.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ — قريبة جداً من القيمة السطحية.
- رواد الفضاء يطوفون لأنهم ومحطة الفضاء في سقوط حر معاً، وليس بسبب اختفاء الجاذبية.
نصف قطر الأرض هو $6370\ \text{km}$ وشدة الحقل السطحي هي $9.81\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$. ما شدة الحقل على ارتفاع $400\ \text{km}$، بوحدة N/kg؟
$g \propto \dfrac{1}{r^{2}}$، لذا $g = 9.81 \times \left(\dfrac{6370}{6770}\right)^{2} = 8.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ — رواد الفضاء ليسوا عديمي الوزن، بل هم في حالة سقوط حر.
لقد فهمت الأمر
- مجال كتلة نقطية: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$ (لذا $g$ شبه ثابت بالقرب من السطح)
- مدار: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ مع $r$ من المركز (غير اعتماداً على كتلة القمر الاصطناعي)؛ $T^{2} \propto r^{3}$
- جغوستاشيوناري: 24 ساعة، فوق خط الاستواء، غرباً إلى شرقاً؛ المدار المتزامن يطابق دوران أي كوكب