الجهد الجاذبي
| English | العربية |
|---|---|
| escape velocity/eˈskeɪp vəˈlɒsɪti/ | سرعة الهروب |
| gravitational potential/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl/ | الجهد الجاذبي |
| infinity/ɪnˈfɪnɪti/ | لانهاية |
| gravitational potential energy/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | الطاقة الكامنة الجاذبية |
| tightly bound/ˈtaɪtli baʊnd/ | مرتبط بإحكام |
كيف تسرع للهروب للأبد؟
- رمِ كرة للأعلى وتعود. رمِها بسرعة كافية ولن تعود أبداً.
- تلك السرعة التي "لا تعود" تسمى سرعة الهروب.
- لإيجادها نحتاج إلى الجهد الجذب.
الجهد الجذب
- $\phi$ هو الشغل المبذول لكل وحدة كتلة لجلب كتلة اختبار صغيرة من اللانهاية إلى نقطة ما: $\phi = \dfrac{W}{m}$. الوحدة: $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
- يُؤخذ صفراً عند اللانهاية، لذا $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ يكون سالباً في كل مكان آخر.
الجهد الجاذبي
V = −GM / r
الجهد ∝ −1/r — عميق بالقرب من الكتلة، ويصبح مسطحاً مع زيادة المسافة.
الجهد الجاذبي هو:
الجاذبية تقوم بالشغل عندما تسقط كتلة، لذا $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ يكون سالباً، ويصل إلى الصفر فقط عند اللانهاية.
يُعتبر الجهد الجاذبي صفراً عند ____.
هذا الخيار يجعل الجهد سالباً في كل مكان توجد فيه كتلة فعلياً.
طاقة الوضع الجاذبية
- كتلة $m$ عند جهد $\phi$ تمتلك $E_{\text{P}} = m\phi = -\dfrac{GMm}{r}$.
- إنه سالب؛ الكتل الأق closer تكون أكثر سلبية — أكثر ترابطاً.
الجاذبية توفر القوة المائلة التي تبقي الكوكب في مدار دائري
الكتلتان القريبتان من بعضهما لديهما طاقة جهد جاذبية أكثر سلبية (أدنى).
$E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{r}$ — كلما قلّت $r$، أصبحت القيمة أكثر سلبية، أي أن الزوج أكثر ارتباطاً.
صل كل مصطلح بالتعريف الذي يضعه المصحح.
اثنان من هذه المفاهيم يعبر عن "لكل وحدة كتلة" وواحد يعبر عن "لكل وحدة كتلة من الشغل". هذا الكلمة الوحيدة هي ما يفصل بين الجهد وشدة الحقل.
الارتباط بـ $mg\Delta h$
- بالنسبة لتغيرات الارتفاع الصغيرة بالقرب من السطح، لا تتغير $r$ بشكل كبير، لذا $\Delta E_{\text{P}} \approx mg\Delta h$.
- لتغيرات كبيرة (رفع قمر اصطناعي)، استخدم $-\dfrac{GMm}{r}$ عند كل نصف قطر وطرح النتائج.
المعادلة البسيطة $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$ صالحة عندما:
إنها تفترض حقلاً منتظماً. للتغيرات الكبيرة في $r$، استخدم $-\dfrac{GMm}{r}$ عند كل نصف قطر بدلاً من ذلك.
لماذا يكون الجهد الجاذبي سالباً دائماً؟ حدد جميع الخيارات الصحيحة.
"لأن الجاذبية تجذب" بمفردها ليس هو الإجابة الصحيحة. يجب أن يتضمن التقييم حجة الشغل: الصفر عند اللانهاية، والمجال الذي يقوم بالشغل أثناء الاقتراب.
مثال محلول: الجهد عند سطح المريخ
للمريخ كتلة $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$ ونصف قطر $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. أوجد الجهد الجذب عند سطحه، والطاقة اللازمة لنقل $1\ \text{kg}$ من السطح إلى اللانهاية.
- الجهد: $\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{3.4 \times 10^{6}} = -1.3 \times 10^{7}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
- وحدة الطلب: جول لكل كيلوغرام، لأن الجهد هو طاقة لكل وحدة كتلة.
- طاقة الهروب لكل كيلوغرام: من $\phi$ حتى الصفر عند اللانهاية هي $+1.3 \times 10^{7}\ \text{J}$ لكل كيلوغرام.
- التحقق: الإشارة السالبة ليست اختيارية. تقول أنه يجب بذل شغل على الكتلة لإزالتها — الكتلة تقع في "حفرة" عمقها $1.3 \times 10^{7}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
له القمر كتلة $7.35 \times 10^{22}\ \text{kg}$ ونصف قطر $1.74 \times 10^{6}\ \text{m}$. ما هو الجهد الجاذبي عند سطحه كنسبة مضاعفة لـ $10^{6}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$؟ (تضمن الإشارة.)
$\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{1.74 \times 10^{6}} = -2.8 \times 10^{6}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ — حوالي عشرين جزءاً من كتلة الأرض، ولهذا السبب مغادرة القمر أمر سهل.
سرعة الهروب
- للوصول إلى اللانهاية، يجب أن تتساوى الطاقة الحركية مع عمق الحفرة: $\tfrac{1}{2}mv_{\text{esc}}^{2} = \dfrac{GMm}{r}$.
- $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} \approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ عند سطح الأرض — غير معتمد على كتلة الجسم.
ما هي سرعة الهروب تقريباً من سطح الأرض، بوحدة كم/ثانية؟
$v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} \approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ للأرض.
سرعة الهروب تعتمد على كتلة الجسم المتجه للهروب.
تختصر كتلة الجسم: $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ تعتمد فقط على الكوكب والمسافة.
كوكب له قيمة GM/r = 6.3e7 J/kg عند سطحه. ما هي سرعته الهاربة بوحدة كم/ثانية؟
v = sqrt(2GM/r) = sqrt(1.26e8) = 1.12e4 m/s = 11.2 km/s، وهي قيمة الأرض. لاحظ عامل الـ 2 وأن كتلة الجسم المتجه للهروب تختصر تماماً.
مثال محلول: رفع قمر اصطناعي
تم رفع قمر اصطناعي كتلته $500\ \text{kg}$ من سطح الأرض ($R = 6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$) إلى مدار نصف قطره $7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$. كتلة الأرض هي $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$. أوجد زيادة الطاقة الكامنة، وقارنها بـ $mg\Delta h$.
- جهدان، اطرح: $\Delta E_{\text{P}} = GMm\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r}\right)$.
- التعويض: $6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 500 \times \left(\dfrac{1}{6.37 \times 10^{6}} - \dfrac{1}{7.0 \times 10^{6}}\right) = 2.8 \times 10^{9}\ \text{J}$.
- الطريقة التقريبية: $mg\Delta h = 500 \times 9.81 \times 6.3 \times 10^{5} = 3.1 \times 10^{9}\ \text{J}$ — أكبر بحوالي $10\%$، لأن $g$ يقل مع الارتفاع بينما $mg\Delta h$ يفترض ثباته.
- التحقق: الزيادة موجبة — ينتهي القمر الاصطناعي بقيمة أقل سلبية، ترابطاً أقل — رغم أن كلا الجهدتين أعداد سالبة.
الجهد سالب ويزداد نحو الصفر كلما ابتعدت. "الطاقة المكتسبة" هي النهائية ناقص الابتدائية مع بقاء الإشارات: $-1.3 \times 10^{7} \to -0.9 \times 10^{7}$ هو كسب لـ $0.4 \times 10^{7}$ لكل كيلوغرام. $mg\Delta h$ خاص فقط بـ $\Delta h \ll R$. ووحدتها $\phi$ هي $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ — كتابة جول تفقد الدرجة.
أي العبارات عن الجهد الجاذبي صحيحة؟ حدد كل ما ينطبق.
الجهد هو طاقة لكل وحدة كتلة، لذا وحدته جول لكل كيلوجرام. وهو سالب، ويزداد نحو الصفر مع المسافة، وتدرجه يعطي المجال: $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$.
شدة المجال من الرسم البياني للجهد
- شدة المجال هي ميل الرسم البياني للجهد-المسافة: $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$.
- حيث يكون رسم $\phi$ حاداً (قريباً من الكتلة) يكون المجال قوياً؛ بعيداً يتسطح الرسم ويختفي المجال.
- يشير الإشارة السالبة إلى أن المجال يتجه لأسفل منحدر الجهد — نحو الكتلة، حيث $\phi$ تكون أكثر سلبية.
لقد فهمت الأمر
- الجهد الجاذبي $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ في $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ (سالب، صفر عند اللانهاية)؛ $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$
- الطاقة الكامنة الجاذبية $E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{r}$ — كلما كانت أكثر سلبية كانت الارتباط أقوى؛ التغيرات الكبيرة تستخدم $GMm\left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right)$
- سرعة الهروب $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ (مستقلة عن الكتلة، $\approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ للأرض)