الحركة الدائرية والسرعة الزاوية
| English | العربية |
|---|---|
| radians/ˈreɪdɪənz/ | راديان |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | طول القوس |
| angular speed/ˈæŋɡjʊlə spiːd/ | السرعة الزاوية |
| period/ˈpɪərɪəd/ | الدور |
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | التردد |
| tangential/tænˈdʒenʃl/ | مماسي |
| linear speed/ˈlɪnɪə spiːd/ | السرعة الخطية |
الدوَّارة
- حصانان على دوّارة يدوران مرة واحدة معًا.
- ومع ذلك يتحرك الحصان الخارجي بوضوح بسرعة أكبر من الداخلي.
- العلاقة بين "الدوران" و"السرعة" هي ما نضعه هنا.
الزوايا بالراديان
- الراديان هو الزاوية التي يساوي طول قوسها نصف القطر: $\theta = \dfrac{s}{r}$.
- الدائرة الكاملة تساوي $2\pi\ \text{rad}$. (ضبط الآلة الحاسبة على الراديان لهذا الموضوع.)
عجلة فريز: كل مقعد يتحرك في دائرة بسرعة زاوية ثابتة
السرعة الزاوية
s = rθ
السرعة الزاوية تحوّل زاوية لكل وحدة زمن؛ طول القوس s = rθ.
راديان واحد هو الزاوية التي يساوي فيها طول القوس:
$\theta = \dfrac{s}{r}$، لذا عندما يساوي طول القوس $s$ نصف القطر $r$، تكون الزاوية راديان واحد بالضبط.
كم عدد الراديانات في دائرة كاملة؟
الدائرة الكاملة لها طول قوس $s = 2\pi r$، لذا $\theta = \dfrac{2\pi r}{r} = 2\pi \approx 6.28\ \text{rad}$.
صل كل مصطلح بالتعريف الذي يضعه المصحح.
تعريف الراديان على أنه 180/pi درجة، أو من خلال الصيغة theta = s/r، لا يحصل على الدرجة. القوس الذي يساوي في طوله نصف القطر هو العبارة المحددة.
السرعة الزاوية
- السرعة الزاوية $\omega$ هي مدى سرعة تغير الزاوية: $\omega = \dfrac{\theta}{t}$.
- الوحدة: $\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
راديان واحد هو الزاوية التي يساوي طول قوسها نصف القطر
الدور والتواتر
- دورة واحدة تستغرق الدور $T$، لذا $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$.
- $f = \dfrac{1}{T}$ هو عدد الدورات في الثانية (هرتز).
بينما يدور نصف القطر عبر الزاوية يتحرك الجسم قوسًا بسرعة v
ي completing جسم دورة كاملة كل $2.0\ \text{s}$. ما هي سرعته الزاوية؟
$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = \pi \approx 3.14\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
السرعة الزاوية تساوي $2\pi$ مقسوماً على ____.
$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ — الدور الكامل ($2\pi$) مقسوماً على الزمن اللازم لدورة واحدة.
السرعة الخطية والزاوية
- السرعة الفعلية (المماسية) هي $v = r\omega$.
- نفس $\omega$، أكبر $r$ → أكبر $v$ — وهذا هو سبب سرعة الحصان الخارجي.
نقطة عند نصف قطر $0.50\ \text{m}$ تدور بسرعة $\omega = 4.0\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. ما هي سرعتها الخطية؟
$v = r\omega = 0.50 \times 4.0 = 2.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
على الكاروسيل، يتحرك حصان أبعد عن المركز بسرعة خطية أعلى.
نفس السرعة الزاوية $\omega$، لكن $v = r\omega$، لذا يعطي نصف قطر أكبر سرعة خطية أكبر.
تدور عجلة دورة واحدة كل 4.0 ثانية. ما هي سرعتها الزاوية، بوحدة راد/ثانية؟
omega = 2 pi / T = 1.57 rad/s. كل صيغة في هذا الموضوع تفترض الراديان، لذا فإن الآلة الحاسبة مضبوطة على الدرجات تدمر v = r omega بهدوء أيضاً.
وصف الحركة الدائرية المنتظمة
- يطلب الامتحان ذلك "بالنسبة للسرعة المتجهة والتسارع". قل كل ثلاثة أشياء:
- السرعة ثابتة، لكن السرعة المتجهة ليست كذلك — فهي على طول المماس وتتغير اتجاهها باستمرار;
- التسارع له مقدار ثابت ويوجه دائمًا نحو المركز، عموديًا على السرعة المتجهة.
أي العبارات تصف بشكل صحيح جسماً في حركة دائرية منتظمة؟ حدد جميع الخيارات الصحيحة.
السرعة ثابتة ولكن السرعة المتجهة تستمر في تغيير الاتجاه، لذلك يوجد تسارع - بحجم ثابت، دائماً نحو المركز.
في الحركة الدائرية المنتظمة، أي مما يلي يظل ثابتاً؟ حدد جميع الخيارات الصحيحة.
السرعة المتجهة تتغير باستمرار في الاتجاه، وهذا بالضبط هو السبب في وجود تسارع أصلاً. القوة لا تبذل شغلاً، لذا لا تتغير الطاقة الحركية أبداً.
مثال محلول: الوقوف stationary، التحرك بسرعة
كامبريدج تقع على خط عرض $52.2^\circ$ على أرض نصف قطرها $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ تدور مرة في اليوم. أوجد نصف قطر الدائرة التي تتحرك كامبريدج حولها، وسرعتها، والقوة المحصلة اللازمة لطالب وزنه $60\ \text{kg}$ لهذه الحركة.
- نصف قطر الدائرة: تدور المدينة حول محور الأرض، وليس مركزها، لذا $r = R\cos 52.2^\circ = 6.37 \times 10^{6} \times 0.613 = 3.90 \times 10^{6}\ \text{m}$.
- السرعة الزاوية: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{86\,400} = 7.27 \times 10^{-5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- السرعة: $v = r\omega = 3.90 \times 10^{6} \times 7.27 \times 10^{-5} = 284\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- القوة المحصلة: $F = mr\omega^{2} = 60 \times 3.90 \times 10^{6} \times (7.27 \times 10^{-5})^{2} = 1.2\ \text{N}$، نحو المحور.
- التحقق: قوة ضئيلة مقارنة بوزن الطالب $590\ \text{N}$ — ولهذا السبب لا نلاحظ الدوران، حتى أننا نتحرك أسرع من طائرة نفاثة.
$\omega$ يجب أن تكون بوحدة راديان في الثانية. التحويلات من دورات في الدقيقة تصبح $\dfrac{\text{rpm} \times 2\pi}{60}$؛ الدورة الكاملة هي $2\pi$ في كل صيغة هنا، وليست $360$. $r$ في $v = r\omega$ تكون بـ متر. والدور هو الوقت لـ دورة كاملة واحدة، وليس نصف دورة أو اهتزاز.
يدور رأس مثقاب بسرعة $3000$ دورة في الدقيقة. ما هي سرعته الزاوية، بوحدة راد/ثانية؟
$3000$ دورة في الدقيقة تساوي $50$ في الثانية؛ كل دورة تساوي $2\pi$ راد، لذا $\omega = 50 \times 2\pi = 314\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
أرقام للحصول على إحساس
- قرص مضغوط بسرعة $500$ دورة في الدقيقة: $\omega = \dfrac{500 \times 2\pi}{60} = 52\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- عجلة سيارة نصف قطرها $0.30\ \text{m}$ عند سرعة $20\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$: $\omega = \dfrac{v}{r} = 67\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$، حوالي $11$ دورة في الثانية.
- الأرض: دورة واحدة في $86\,400\ \text{s}$، لذا $\omega = 7.3 \times 10^{-5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ — بطيء بالزاوية، سريع عند الحافة.
لقد فهمت الأمر
- راديان: $\theta = \dfrac{s}{r}$؛ الدائرة الكاملة هي $2\pi\ \text{rad}$
- السرعة الزاوية $\omega = \dfrac{\theta}{t} = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$ (rad/s — تحويل rpm)
- السرعة الخطية $v = r\omega$ (نصف قطر أكبر → أسرع)؛ الحركة الدائرية المنتظمة: سرعة ثابتة، سرعة متغيرة، تسارع نحو المركز