التكامل (نقي 2)
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| integral/ˈɪntɪɡrəl/ | تكامل |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | الدالة الأسية |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | معادلة تفاضلية |
| trapezium rule/trəˈpiːzɪəm ruːl/ | قاعدة شبه المنحرف |
| strip/strɪp/ | شريط |
| estimate/ˈestɪmət/ | تقدير |
| identity/aɪˈdentɪti/ | متطابقة |
المساحة التي لا يمكن لـ eˣ الهروب منها
- تكامل $e^x$ هو $e^x$ — نفس الدالة. تجعل هذه الخاصية ذاتية المرجع الدوال الأسية مركزية في المعادلات التفاضلية.
- تقنيات التكامل تسمح لك بإيجاد المساحات والحجوم وحلول المشاكل الواقعية.
التكاملات القياسية
مثال محلول. $\int e^{3x}\,dx = \dfrac{1}{3}e^{3x} + C$. الـ $\dfrac{1}{3}$ يأتي من قاعدة السلسلة بالعكس.
لا تنسَ $\dfrac{1}{a}$. عند التكامل لـ $e^{ax+b}$، يجب أن تقسم على $a$. تكامل $e^{2x}$ هو $\dfrac{1}{2}e^{2x}$، وليس $e^{2x}$.
قاعدة شبه المنحرف تضيف أشرطة مسطحة العرض h لتقدير المساحة
المساحة تحت المنحنى
المساحة = ∫ f(x) dx
لا يزال التكامل يقيس المساحة — اسحب a و b لتجميع الشريط تحت المنحنى.
ما هو ∫ eˣ dx؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
eˣ هي تكاملها ومشتقتها ذاتها: ∫eˣ dx = eˣ + C.
ما هو ∫ (1/x) dx؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
∫(1/x) dx = ln|x| + C (تفشل قاعدة القوة عندما n = −1).
∫ e^(2x) dx = (1/a)e^(2x) + C. ما هي قيمة a؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
القاعدة السلسلة عكسياً: اقسم على معامل x داخل الأس.
∫ cos(3x) dx = (1/3)sin(3x) + C. احسب القيمة من 0 إلى π/6 (2 خانات عشرية).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
[(1/3)sin(3x)]₀^(π/6) = (1/3)sin(π/2) − 0 = 1/3 ≈ 0.33.
تكامل أسس الدوال المثلثية
- لتكامل أس لـ $\sin$/$\cos$، استخدم متطابقة لإزالة الأس أولاً.
- مثال: $\sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2x)$، لذا $\int \sin^2 x\,dx = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$.
قاعدة شبه المنحرف
- عندما لا يمكنك التكامل بدقة، قدّر:
- كل شريط بعرض $h$ هو شبه منحرف؛ اجمع مساحاتها.
قاعدة شبه المنحرف: قسم المساحة إلى أشرطة، وقدّر كل منها كشبه منحرف، وجمع مساحاتها.
تُقدّر قاعدة شبه المضلع التكامل المحدود عندما لا يمكن إيجاده بدقة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تقريب المساحة كمجموع لأشرطة شبه مضلع بعرض h.
باستخدام قاعدة شبه المضلع مع h = 1، قدّر ∫₁³ x² dx باستخدام قيم y وهي 1، 4، 9.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(1/2)[1 + 9 + 2(4)] = (1/2)[10 + 8] = 9. (القيمة الدقيقة: 26/3 ≈ 8.67.)
مثال محلول — قاعدة شبه المنحرف
- قدّر $\int_1^4 x^2\,dx$ باستخدام 3 أشرطة ($h = 1$).
- قيم $y$: $y_0 = 1$، $y_1 = 4$، $y_2 = 9$، $y_3 = 16$.
- $\int \approx \dfrac{1}{2}[1 + 16 + 2(4 + 9)] = \dfrac{1}{2}[17 + 26] = 21.5$.
- القيمة الدقيقة: $\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^4 = \dfrac{64}{3} - \dfrac{1}{3} = 21$. التقدير قريب.
- التكامل هو اشتقاق عكسي؛ التكاملات الأصعب تستخدم التكامل بالتعويض.
لقد فهمت الأمر
- $\int e^{ax+b}dx = \tfrac1a e^{ax+b} + C$; $\int \tfrac{1}{ax+b}dx = \tfrac1a\ln|ax+b| + C$
- أزل أسس $\sin$/$\cos$ بـ متطابقة قبل التكامل
- قاعدة شبه المنحرف تُقدّر التكامل كمجموع شرائح شبه منحرفة