الحل العددي للمعادلات

الجذر الذي لا يمكنك رؤيته

• بعض المعادلات ليس لها حل جبري منظم. $x^3 + x - 1 = 0$ لا يمكن تحليله إلى عوامل.
• لكنك تعلم أن جذراً موجوداً بين $0$ و $1$ لأن الدالة تغير إشارتها. تتيح لك الطرق العددية إيجادها بدقة whatever.

تحديد موقع الجذر

• لا يمكن حل الكثير من المعادلات بشكل دقيق. الجذر هو الحل.
• تغير الإشارة: إذا كان $f(a)$ و $f(b)$ لهما إشارات متعاكسة (ولا يوجد انقطاع بينهما)، فإن جذراً يقع بين $a$ و $b$.

التكرار: خطوة للأعلى نحو المنحنى وعبراً إلى y = x؛ الخطوات تتقارب نحو جذر

التكرار

• أعد ترتيب المعادلة على الصورة $x = F(x)$.
• استخدم الصيغة التكرارية $x_{n+1} = F(x_n)$ من تخمين أولي $x_0$.
• إذا استقرّت القيم، فهي تتقارب نحو جذر. استمر حتى تصل إلى الدقة المطلوبة.

التكرار: بدءاً من $x_0$، كل خطوة تطبق $F$ وتعكس في $y = x$. يدور العنكبوت نحو النقطة الثابتة — الجذر.

مثال محلول — التكرار

• حل $x^3 + x - 1 = 0$ باستخدام $x_{n+1} = \sqrt[3]{1 - x_n}$، بدءاً من $x_0 = 0.5$.
• $x_1 = \sqrt[3]{0.5} = 0.794$, $x_2 = \sqrt[3]{0.206} = 0.591$, $x_3 = \sqrt[3]{0.409} = 0.742$, ...
• تتقارب القيم نحو $x \approx 0.682$.

اختيار إعادة الترتيب

• ليست جميع إعادة الترتيب تتقارب. التكرار $x_{n+1} = F(x_n)$ يتقارب عندما $|F'(x)| < 1$ قريباً من الجذر.
• إذا تباعدت (القيم تتحرك بعيداً)، جرب إعادة ترتيب مختلفة.

لقد فهمت الأمر