الاستدلال باستخدام توزيعات normal و t
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| sample/ˈsæmpl/ | العينة |
| distribution/ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | التوزيع |
| variance/ˈveərɪəns/ | التباين |
| tail/teɪl/ | ذيل |
| confidence interval/ˈkɒnfɪdəns ˈɪntəvl/ | فترة الثقة |
| degrees of freedom/dɪˈɡriːz ɒv ˈfriːdəm/ | درجات الحرية |
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | الخطأ المعياري |
| paired/peəd/ | مزدوج |
| pooled estimate/puːld ˈestɪmət/ | تقدير مدمج |
عينات صغيرة، عدم اليقين الصادق
- مع عينة ضخمة يمكنك استخدام التوزيع الطبيعي. ولكن مع عدد قليل، مثلاً 8 قياسات وتشتع不明未知， التوزيع الطبيعي واثق للغاية.
- ويليام غوست، وهو صانع جعة في Guinness، اخترع توزيع $t$-t للتعامل مع هذا بالتحديد — العينات الصغيرة ذات التباين المجهول.
متى تستخدم توزيع t
- استخدم توزيع $t$-t عندما تكون العينة صغيرة وتكون تباين المجتمع مجهولاً (تقدره باستخدام $s$ للعينة).
- له شكل جرس مشابه للطبيعي ولكن بـ ذيول أثقل — أوسع، لقبول عدم اليقين الإضافي.
توزيع t له شكل جرس مشابه للطبيعي لكن بذيول أثقل؛ كلما كبرت العينة اقترب من الطبيعي.
الاستدلال ومنحنى normal
P(Z < z)
اختبارات وفترات القراءة تقرأ مساحات تحت منحنى normal — حوّل z لإيجادها.
تستخدم توزيع t (بدلاً من normal) عندما:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
n صغيرة مع σ مجهول → تقدير بـ s واستخدام t.
ت分布 t له ذيول أثقل من توزيع normal.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الذيول الأثقل تعكس عدم اليقين الإضافي من تقدير التباين؛ t → normal كلما نمت n.
فترة الثقة للمتوسط
- فترة ثقة للمتوسط السكاني:
- $t$ مأخوذة من جداول $t$ مع $n - 1$ درجات الحرية؛ $\dfrac{s}{\sqrt n}$ هو الخطأ المعياري.
لعينة واحدة بحجم n = 10، كم عدد درجات الحرية التي تستخدمها قيمة t؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
درجات الحرية = n − 1 = 9.
الكمية s/√n تسمى الـ ______ القياسي.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الخطأ المعياري للمتوسط هو s/√n.
مثال محلول
- عينة من $n = 10$ لديها $s = 4$؛ لـ 95% مع 9 درجات حرية، $t = 2.262$.
- هامش $= t\dfrac{s}{\sqrt n} = 2.262 \times \dfrac{4}{\sqrt{10}} = 2.86$ (2 dp).
توزيع t له قمة أقل وذيول أثقل من الطبيعي
عينة حجمها n = 10 لها انحراف معياري s = 4. إذا كانت t = 2.262، فما هو هامش الخطأ t × s/√n؟ (2 خانات عشرية)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2.262 × 4/√10 = 2.262 × 1.265 = 2.86.
مقارنة مجتمعين
- اختبار 2-عينة أو مزدوج $t$-test يقارن مجتمعين.
- عندما يفترض أن الاثنين يشاركان تبايناً، ادمجهم في تقدير مشترك لـ $s^2$.
درجات الحرية، وليس $n$. قيمة $t$ تستخدم $n - 1$ درجات حرية، وليس $n$. قراءة الصف الخاطئ من الجدول هو الخطأ الأكثر شيوعاً.
- لعينة صغيرة، أسس اختبار فرضية على توزيع $t$-t: اختبار t لـ 2 عينة أو اختبار t لعينة مزدوجة.
لقد فهمت الأمر
- عينة صغيرة + تباين مجهول → استخدم توزيع $t$-t ($n-1$ درجات حرية)
- CI للمتوسط: $\bar{x} \pm t\dfrac{s}{\sqrt{n}}$، مع خطأ معياري $\dfrac{s}{\sqrt n}$
- قارن مجتمعين باستخدام اختبار 2-عينة أو مزدوج $t$-test (اجمع التباين عند مشاركته)