المتغيرات العشوائية المستمرة (إضافة)
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| continuous variable/kənˈtɪnjuːəs ˈveərɪəbl/ | متغير مستمر |
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | دالة الكثافة الاحتمالية |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | التوقع |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | دالة التوزيع التراكمي |
| median/ˈmiːdiːən/ | الوسيط |
| percentile/pəˈsentaɪl/ | المئوي |
| quartile/ˈkwɔːtaɪl/ | الربيعي |
الاحتمالية كمساحة
- للمتغير المستمر — كطول أو وقت انتظار — لا توجد قيمة واحدة دقيقة لها احتمالية؛ بل لا نهائية منها.
- بدلاً من ذلك، الاحتمالية هي المساحة تحت المنحنى، دالة كثافة الاحتمالية $f(x)$. المساحة الكلية تساوي $1$.
دالة الكثافة والتوقع
- $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$، والمجموع الكلي للمساحة $\int f = 1$.
- المتوسط لأي دالة من $X$:
الاحتمالات هي مساحات تحت f(x)؛ المساحة الكلية فوق النطاق الكامل تساوي بالضبط 1.
المتغيرات العشوائية المستمرة
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
بالنسبة لمتغير مستمر، الاحتمالية هي المساحة تحت منحنى الكثافة.
ما الذي يجب أن يسايه المساحة الكلية تحت دالة كثافة احتمالية؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
تكامل دالة الكثافة الاحتمالية يساوي 1 عبر مداها الكامل.
دالة التوزيع التراكمي
- CDF يجمع الاحتمالية من اليسار:
- يمتد من $0$ إلى $1$، والاشتقاق يعيد الكثافة: $f(x) = F'(x)$.
CDF $F(x)$ يرتفع من 0 إلى 1؛ يُقرأ الوسيط عند الوصول إلى ارتفاع 0.5
دالة التوزيع التراكمي F(x) تعطي:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
F(x) = P(X ≤ x)، المساحة المتراكمة حتى x.
اشتقاق دالة التوزيع التراكمي يعطي الكثافة: f(x) = F-______(x).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
f(x) = F′(x): الكثافة هي مشتقة دالة التوزيع التراكمي.
مثال محلول — الوسيط
- الوسيط $m$ يقسم المساحة لنصفين: $F(m) = 0.5$.
- لـ $f(x) = \tfrac12 x$ على $[0, 2]$: $F(x) = \tfrac14 x^2$، لذا $\tfrac14 m^2 = 0.5$ يعطي $m = \sqrt2 \approx 1.41$.
تُطبق المئات النسبية بنفس الطريقة. الربيع السفلي يحل $F(x) = 0.25$؛ والمئة النسبية 90 تحل $F(x) = 0.9$. ضع دائماً $F$ مساوياً للكسر الذي تريده.
بالنسبة لـ f(x) = ½x على الفترة [0,2]، فإن F(x) = ¼x². يحدد الوسيط معادلة ¼m² = 0.5. ما قيمة m؟ (بـ 2 أرقام عشرية)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
¼m² = 0.5 → m² = 2 → m = √2 ≈ 1.41.
الوسيط m لتوزيع مستمر يحقق:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الوسيط يقسم المساحة لنصفين: F(m) = 0.5.
الكثافة ليست احتمالية
$f(x)$ يمكن أن تتجاوز 1. الكثافة ليست احتمالية — فقط المساحة هي. قمة عالية وضيقة يمكن أن يكون لها $f(x) > 1$ طالما أن المجموع الكلي للمساحة يبقى $1$.
- استخدم دوال التوزيع التراكمي (CDFs) لإيجاد الاحتمالات والأرباع، وCDF لمتغير مرتبط.
يمكن أن تكون دالة الكثافة الاحتمالية f(x) أكبر من 1.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
فقط المساحة يجب أن تكون ≤ 1؛ الكثافة نفسها يمكن أن تتجاوز 1 خلال فترة ضيقة.
لقد فهمت الأمر
- الاحتمالية = مساحة تحت $f(x)$؛ المجموع الكلي للمساحة $= 1$ (الكثافة نفسها يمكن أن تتجاوز 1)
- CDF $F(x) = P(X \leq x) = \int f$، و$f = F'$
- الوسيط يحل $F(m) = 0.5$؛ الأرباع تحل $F(x) =$ هذا الكسر