الحركة الخطية تحت قوة متغيرة
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| drag/dræɡ/ | مقاومة الهواء (السحب) |
| position/pəˈzɪʃn/ | الموقع |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | قاعدة السلسلة |
| separable/ˈsepərəbl/ | قابل للفصل |
| separate/ˈseprət/ | فصل المتغيرات |
| integrate/ˈɪntɪɡreɪt/ | تكامل |
| boundary condition/ˈbaʊndəri kənˈdɪʃn/ | شرط الحدود |
عندما تستمر القوة في التغير
- الجاذبية بالقرب من الأرض تقريبًا ثابتة — لكن سحب الكواكب، ومقاومة الهواء على السيارة، أو القوة المغناطيسية جميعها تتغير حسب الموقع.
- القوة التي تعتمد على مكانك تتطلب شكلًا أكثر ذكاءً لقانون نيوتن.
التسارع بدلالة الموقع
- عندما تعتمد القوة (وبالتالي التسارع) على الموقع $x$، أعد كتابة التسارع كـ:
- هذا يأتي من قاعدة السلسلة: $\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt} = v\dfrac{dv}{dx}$.
عندما تتغير القوة مع الموقع، يكون الشغل المبذول هو المساحة تحت رسم F-x
الشغل من قوة متغيرة
W = ∫ F dx
عندما تتغير القوة، يكون الشغل المبذول هو المساحة تحت منحنى القوة–المسافة.
عندما تعتمد القوة على الموقع x، يُفضل كتابة التسارع على الشكل:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
a = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx — مريح عندما تعتمد القوة على x.
المطابقة a = v dv/dx تأتي من قاعدة ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx بقاعدة السلسلة.
تحويل F = ma إلى معادلة تفاضلية
- بالتعويض نحصل على $F(x) = mv\dfrac{dv}{dx}$ — وهي معادلة تفاضلية قابلة للفصل تربط بين $v$ و$x$.
- افصل المتغيرات ($v\,dv$ في جهة، $x$ في الجهة الأخرى) ثم تكامل.
متى تستخدم أيًا منهما. القوة تعتمد على الزمن → استخدم $a = \dfrac{dv}{dt}$. القوة تعتمد على الموقع → استخدم $a = v\dfrac{dv}{dx}$. اختيار الصحيح هو نصف المعركة.
بتعويض a = v dv/dx في F = ma نحصل على معادلة تفاضلية قابلة للفصل بين v و x.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
F(x) = mv dv/dx تفصل إلى v dv وتعبير عن x، ثم نكامل.
إذا كانت القوة تعتمد بدلا على الزمن t، فالصيغة الطبيعية للتسارع هي:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
قوة تعتمد على الزمن → a = dv/dt؛ اعتماداً على الموضع → a = v dv/dx.
الطريقة
-
- اكتب $F = ma$ مع $a = v\dfrac{dv}{dx}$.
-
- افصل: جمّع حدود $v$ مع $dv$، وحدود $x$ مع $dx$.
-
- أكمل التكامل للطرفين، ثم طبق شروط الحدود لإيجاد $v$ بدلالة $x$.
- عندما تعتمد القوة على الموقع، تعاملها كمصدر قوة متغيرة مع $a=v\,dv/dx$.
رتب الخطوات لحل حركة تحت قوة تعتمد على الموضع.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
ضع v dv/dx، افصل، أعد تكاملياً، ثم استخدم الشروط لتحديد الثابت.
لقد فهمت الأمر
- بالنسبة لقوة تعتمد على الموقع، استخدم $a = v\dfrac{dv}{dx}$ (من قاعدة السلسلة)
- هذا يجعل $F = ma$ معادلة تفاضلية قابلة للفصل في $v$ و$x$
- افصل وتكامل لإيجاد $v$ بدلالة $x$