الإحداثيات القطبية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| Cartesian/kɑːˈtiːzɪən/ | ديكارتي |
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | الإحداثيات القطبية |
| rotational symmetry/rəʊˈteɪʃənl ˈsɪmətri/ | التناظر الدوراني |
| cardioid/ˈkɑːdɪəʊɪd/ | القالب القلبي |
| sector/ˈsektə/ | القطعة الدائرية |
نظام الإحداثيات الذي يبسط الدوائر
- وصف الحلزونية أو الدائرة بإحداثيات ديكارتية يتطلب معادلات فوضوية. في الإحداثيات القطبية، الدائرة هي ببساطة $r = \text{constant}$.
- الإحداثيات القطبية طبيعية لأي شيء له تناظر دوراني — من مدارات الكواكب إلى شاشات الرادار.
الإحداثيات القطبية
- الإحداثيات القطبية تحدد نقطة عن طريق المسافة $r$ من نقطة الأصل والزاوية $\theta$.
- روابط مع ديكارتية:
مثال محلول. النقطة $(r, \theta) = (5, 60°)$ في ديكارتية: $x = 5\cos 60° = 2.5$، $y = 5\sin 60° = 4.33$. إذن النقطة هي $(2.5, 4.33)$.
الإحداثيات القطبية $(r,\theta)$ تتحول إلى ديكارتية عبر $x=r\cos\theta$ و$y=r\sin\theta$
درج لولبي: تُوصف الحلزونات بطبيعة في الإحداثيات القطبية (r, theta)
الإحداثيات القطبية
r = f(θ)
في الصورة القطبية النقطة هي (r, θ). المنحنيات الجميلة — الورود، الكاردويد، الحلزونات — تأتي من r = f(θ).
في الإحداثيات القطبية، تُعطى الإحداثية x بـ:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
x = r cos θ و y = r sin θ.
حول (r, θ) = (5, 60°) إلى إحداثيات ديكارتية. ما هي x = r cos 60°؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
x = 5 cos 60° = 5 × 0.5 = 2.5.
بالنسبة للنقطة (3, 4) في الإحداثيات الديكارتية، r² = x² + y². أجد r².
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
r² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
المنحنيات القطبية
- منحنيات قطبية شائعة:
r = 4cos θ هي دائرة نصف قطرها 2 ومركزها (2, 0) — الشكل القطبي يجعلها معادلة من سطر واحد.
- $r = a$ — دائرة نصف قطرها $a$ ومركزها نقطة الأصل.
- $r = a\cos\theta$ — دائرة نصف قطرها $\dfrac{a}{2}$ ومركزها $\left(\dfrac{a}{2}, 0\right)$.
- $r = a(1 + \cos\theta)$ — قالب قلبي (شكل قلب).
المنحنى القطبي r = 4cos θ هو دائرة. ما هو نصف قطرها؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
r = 4cos θ تعطي x² + y² = 4x، أي (x−2)² + y² = 4 — دائرة نصف قطرها 2.
المنحنى القطبي r = a(1 + cos θ) يسمى:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
r = a(1 + cos θ) يرسم منحنى على شكل قلب يسمى كاردويد.
المسقط القطبي
- مساحة القطاع: $\text{area} = \tfrac12\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta$.
لا تنسَ $\dfrac{1}{2}$. صيغة المسقط القطبي تحتوي على عامل $\dfrac{1}{2}$ قد يكون من السهل تجاهله. ويأتي هذا العامل من مساحة قطاع مثلثي رفيع: $\dfrac{1}{2}r^2\,d\theta$.
قلبية r = 1 + cos theta، منحنى مرسوم مباشرة بالصيغة القطبية
مساحة القطاع القطبي هي ½∫r² dθ.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
هذه هي صيغة مساحة القطب القياسية.
تحويل المنحنيات
- مثال: $r = 4\cos\theta$ → اضرب في $r$: $r^2 = 4r\cos\theta$ → $x^2 + y^2 = 4x$ → $(x-2)^2 + y^2 = 4$، دائرة نصف قطرها $2$.
لقد فهمت الأمر
- $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $r^2 = x^2 + y^2$
- مساحة قطاع قطبي $= \tfrac12\int r^2\,d\theta$
- $r = 4\cos\theta$ هي دائرة نصف قطرها 2 ومركزها $(2, 0)$