المتجهات ( Further Pure 1 )
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| plane/pleɪn/ | مستوى |
| skew/skjuː/ | متقاطعة |
| vector product/ˈvektə ˈprɒdʌkt/ | الجداء الاتجاهي |
| normal vector/ˈnɔːml ˈvektə/ | المُتجه العمودي |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | عمودي |
| parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/ | متوازي الأضلاع |
| anti-commutative/ˈænti ˈkɒmjuːtətɪv/ | مبدل مع الإشارة السالبة |
رياضيات الفضاء 3D
- كيف تجد المسافة من نقطة إلى مستوى؟ أو الزاوية بين سطحين؟ أو أقصر مسار بين مستقيمين غير متقاطعين؟
- المستويات والجداء الاتجاهي يمنحك الأدوات لحل هذه المشاكل جميعاً — وهي أساسية للهندسة والعمارة والجرافيك الحاسوبي.
معادلات المستويات
- يمكن كتابة المستوى بعدة أشكال:
المتجه العمودي n هو عمودي على المستوى؛ الشكل الجبري هو n·r = d.
- الإحداثي: $ax + by + cz = d$
- الاتجاهي: $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$ (حيث $\mathbf{n}$ هو المتجه العمودي)
- البارامترية: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$
مثال محلول. مستوى له متجه عمودي $\mathbf{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ ويمر عبر $(1, 0, 2)$. المعادلة: $2x - y + 3z = 2(1) - 0 + 3(2) = 8$.
المتجهات
a · b = |a||b|cos θ
الضرب النقطي يساوي صفراً بالضبط عندما يكون متجهان متعامدين.
يمكن للضرب القياسي والاتجاهي إيجاد أقصر مسافة بين مستقيمين متقاطعين.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تتيح لك هذه المنتجات حساب المسافات والزوايا والتقاطعات في 3D، بما في ذلك مسافات الخطوط المائلة.
للمستوى معادلة 2x − y + 3z = 8. المتجه العمودي له مكونات (2, −1, ?). أجد المكون المفقود.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
معاملات x و y و z في ax + by + cz = d تعطي المتجه العمودي (a, b, c) = (2, −1, 3).
الجداء الاتجاهي (الضرب الاتجاهي)
- الجداء الاتجاهي $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\,\hat{\mathbf{n}}$ يعطي متجهاً عمودياً على كليهما.
- طوله يساوي مساحة المتوازي الممدود بواسطة $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$.
الترتيب مهم. $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = -\mathbf{b}\times\mathbf{a}$. الجداء الاتجاهي غير إبدالي — تبديل الترتيب يعكس الاتجاه.
القوى كالحركة الهوائية والمائية هي متجهات، ولها كل من الحجم والاتجاه
يعطي الضرب الاتجاهي a × b متجهاً يكون:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
a × b عمودي على كلا المتجهين؛ وطوله هو |a||b|sin θ.
المقدار |a × b| يساوي:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
|a × b| = |a||b|sin θ، وهو مساحة متوازي الأضلاع.
الضرب الاتجاهي إبدالي: a × b = b × a.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الضرب الاتجاهي مضاد للإبدال: a × b = −(b × a). تبديل الترتيب يعكس الاتجاه.
إذا كان |a| = 3، |b| = 4، والزاوية بينهما 30°، فإن |a × b| = |a||b|sin θ. أوجد هذا المقدار.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
|a × b| = 3 × 4 × sin 30° = 12 × 0.5 = 6.
التطبيقات
- مع الضرب القياسي والاتجاهي: المسافات، الزوايا، أماكن تقاطع الخطوط والمستويات، وأقصر مسافة بين مستقيمين غير متقاطعين.
- المسافة من نقطة إلى مستوى: $d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
الجداء الاتجاهي عمودي على كلا المتجهين؛ وطوله هو مساحة المتوازي
إيجاد المتجه العمودي
- المتجه العمودي لمستوى يحتوي متجهين $\mathbf{b}$ و $\mathbf{c}$ هو $\mathbf{n} = \mathbf{b} \times \mathbf{c}$.
- هذه هي أسرع طريقة لإيجاد المعادلة الإحداثية من الصورة البارامترية.
لقد فهمت الأمر
- مستوى: $ax + by + cz = d$ أو $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$
- الجداء الاتجاهي $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ هو عمودي على كليهما؛ $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$ = مساحة المتوازي
- استخدمه للمسافات والزوايا والتقاطعات ومسافات المستقيمات غير المتقاطعة