المصفوفات
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| matrix/ˈmeɪtrɪks/ | مصفوفة |
| transformation/trænsfɔːˈmeɪʃn/ | تحول |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | مصفوفة الوحدة |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | المحدد |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | المعكوس |
| singular/ˈsɪŋɡjʊlə/ | singular |
| invariant/ɪnˈveərɪənt/ | ثابت |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | تكبير |
الرياضيات التي تشغل رسومات الحاسوب
- في كل مرة تدور فيها صورة على هاتفك، تقوم عملية ضرب مصفوفات بالعمل خلف الكواليس.
- المصفوفات هي لغة التحويلات — فهي تصف الدوران، والعكس، والتمدد، والإسقاط في كائن واحد مضغوط.
أساسيات المصفوفات
- المصفوفة هي كتلة مستطيلة من الأرقام. اضرب الصف × العمود.
- مصفوفة الهوية $I$ تترك المصفوفة دون تغيير: $AI = IA = A$.
مثال محلول. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(5) + 2(6) \\ 3(5) + 4(6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 39 \end{pmatrix}$.
المصفوفات
(x', y') = M(x, y)
المصفوفة تحوّل المستوى؛ ومحددها هو معامل تغيير المساحة (السالب يعني الانعكاس).
اضرب [[1, 2], [3, 4]] في [[5], [6]]. ما هو المدخل العلوي للنتيجة؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1(5) + 2(6) = 5 + 12 = 17.
رتب الخطوات لإيجاد معكوس مصفوفة 2x2 [[a,b],[c,d]].
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
المعكوس هو (1/det)[[d,−b],[−c,a]] — بدل القطر الرئيسي، أعد إشارات القطر الثانوي، واقسم على det.
المحددات والمقلوبات
- بالنسبة لـ $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$: يكون المحدد $\det A = ad - bc$.
- إذا كانت $\det A \neq 0$ (غير مفردة)، فإن المقلوب هو $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
المصفوفات المفردة ليس لها مقلوب. إذا كان $\det A = 0$، تكون المصفوفة مفردة — فهي تطوي المستوى إلى خط، مما يفقد معلومات لا يمكن استرجاعها.
ما هو محدد المصفوفة [[3, 1], [2, 4]] (ad − bc)؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
det = 3×4 − 1×2 = 12 − 2 = 10.
للمصفوفة 2×2 معكوس بالضبط عندما يكون محددها:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المصفوفة غير المفردة (det ≠ 0) لها معكوس؛ det = 0 تعني مفردة (ليس لها معكوس).
بالنسبة لـ A = [[3, 1], [2, 4]] مع det = 10، المدخل في أعلى اليسار من A⁻¹ هو d/det. أوجد هذا المدخل.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A⁻¹ = (1/10)[[4, -1], [-2, 3]]. المدخل في أعلى اليسار = 4/10 = 0.4.
المصفوفات كتحويلات
- تمثل مصفوفة $2\times2$ تحويلاً للمستوى؛ $\det A$ = عامل قياس المساحة.
مصفوفة 2x2 تحوّل المربع الوحدوي إلى متوازي أضلاع؛ ومحددها هو عامل قياس المساحة.
- الضرب $AB$ يعني "نفّذ $B$، ثم نفّذ $A$". النقاط/الخطوط التي لا تتحرك تُعتبر ثابتة (غير متغيرة).
بالنسبة لمصفوفة التحويل، يعطي المحدد:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المحدد هو العامل الذي تُضرب به المساحات بواسطة التحويل.
بالنسبة للمصفوفتين A و B، يعني الضرب AB "قم بـ B أولاً، ثم A".
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ضرب المصفوفات يُطبق من اليمين إلى اليسار: AB(x) = A(B(x))، لذا تعمل B أولاً.
تحويلات شائعة
| المصفوفة | التحويل |
|---|---|
| $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ | انعكاس حول محور $y$ |
| $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ | دوران $90°$ عكس عقارب الساعة |
| $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ | تكبير بعامل مقياس $k$ |
- تعرف على جمع المصفوفات، والمصفوفة الصفرية، ومصفوفة الهوية (أو الوحدة)، والنقاط الثابتة والخطوط الثابتة للتحويل.
لقد فهمت الأمر
- $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$؛ قابلة للعكس عندما $\det \neq 0$
- $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
- المصفوفة هي تحويل؛ $\det$ = عامل قياس المساحة؛ $AB$ = "قم بـ $B$، ثم قم بـ $A$"