مجموع المتتاليات
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| summation/sʌˈmeɪʃn/ | الجمع |
| method of differences/ˈmeθəd ɒv ˈdɪfrənsɪz/ | طريقة الفروقات |
| telescope/ˈtelɪskəʊp/ | تلسكوبي |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | متقارب |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | المجموع اللانهائي |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | الكسور الجزئية |
المجموع الذي حلّه غاوس في عمر 10
- وضع معلم غاوس الصغير مهمة على الصف لإضافة $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$، متوقعاً ساعة من العمل. أدرك غاوس النمط فوراً: اجمع الأول والأخير ($1 + 100 = 101$)، والثاني والثاني من الأخير ($2 + 99 = 101$)، وهكذا — 50 زوجاً من 101 = 5050.
- صيغ الجمع تحول عمليات الطول المعقدة إلى جبر بسيط.
نتائج الجمع القياسية
مثال محلول. $\sum_{r=1}^{10} r^2 = \dfrac{10 \times 11 \times 21}{6} = \dfrac{2310}{6} = 385$.
جمع الأعداد من 1 إلى n بجمع الأطراف المتناظرة: المجموع الكلي هو n(n+1)/2
مجموع المتتاليات
Sₙ = Σ uₖ
أضف الحدود واحداً تلو الآخر — المجموع الجزئي يتجه نحو حدّه.
باستخدام Σr = ½n(n+1)، ما هو مجموع أول 5 أعداد صحيحة؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
½ × 5 × 6 = 15 (= 1+2+3+4+5).
باستخدام Σr² = (1/6)n(n+1)(2n+1)، ما هو مجموع أول 3 مربعات؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(1/6)(3)(4)(7) = 84/6 = 14 (= 1+4+9).
باستخدام Σr³ = ¼n²(n+1)²، ما هو مجموع أول 3 مكعبات؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
¼ × 9 × 16 = 36 (= 1+8+27). ملاحظة: 36 = 6² = (1+2+3)².
أكمل النتيجة القياسية: Σr (من 1 إلى n) = ______ n(n+1).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
مجموع أول n عدد صحيح هو ½n(n+1).
تفكيك المجاميع
- افصل المجموع إلى أجزاء قياسية:
- $\sum_{r=1}^{n}(2r+1) = 2\sum r + \sum 1 = 2 \times \dfrac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n(n+2)$.
$\sum r^3 = (\sum r)^2$. هذه الهوية الجميلة تعني أن مجموع المكعبات يساوي مربع مجموع أول $n$ أعداد صحيحة. من السهل التحقق منها: $\sum_{r=1}^{3} r^3 = 1 + 8 + 27 = 36 = 6^2 = (1+2+3)^2$.
Σ(2r+1) من r=1 إلى n = n(n+2). بالنسبة لـ n=4، أوجد المجموع.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
4 × 6 = 24. تحقق: 3+5+7+9 = 24.
طريقة الفروقات
- إذا كان كل حد $f(r) - f(r+1)$، فإن معظم الحدود تُلغي بعضها البعض (تلسكوب).
- من المجموع حتى $n$ حدود يمكنك معرفة ما إذا كانت المتسلسلة متقاربة وإيجاد مجموعها اللانهائي.
في طريقة الفروقات، إذا كان كل حد هو f(r) − f(r+1)، فإن معظم الحدود تلغي بعضها (تلسكوب).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تلغي الحدود المتتالية بعضها، متروكة فقط القطعة الأولى والأخيرة.
Σ 1/(r(r+1)) من r=1 إلى ∞ يتلاشى إلى 1 − 1/(n+1). عندما n→∞، ما هو المجموع اللانهائي؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
عندما n→∞، فإن 1/(n+1)→0، لذا يقترب المجموع من 1.
مثال محلول — طريقة الفروقات
- إيجاد $\sum_{r=1}^{n} \dfrac{1}{r(r+1)}$.
- الكسور الجزئية: $\dfrac{1}{r(r+1)} = \dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{r+1}$.
- المجموع يتلسكوب: $\left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$.
- عندما $n \to \infty$: المجموع اللانهائي $= 1$.
- المتسلسلة تكون متقاربة عندما يقترب مجموعها حتى $n$ حدود من حد معين.
لقد فهمت الأمر
- $\sum r = \tfrac12 n(n+1)$, $\sum r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1)$, $\sum r^3 = \tfrac14 n^2(n+1)^2$
- فصل المجاميع إلى أجزاء قياسية
- طريقة الفروقات تُلغي $f(r) - f(r+1)$ بشكل تلسكوبي