الدوال الكسرية والرسوم البيانية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | كثير حدود |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | خط تقارب عمودي |
| oblique asymptote/əˈbliːk ˈæsɪmptəʊt/ | خط تقارب مائل |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | مقام |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | دالة كسرية |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | باقي القسمة |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | حاصل القسمة |
الرسم البياني الذي يكسر القواعد
- معظم الدوال التي واجهتها هي كثيرات حدود — ناعمة، متصلة، ومعرفة في كل مكان. لكن بقسمة كثيرة حدود على أخرى تحصل على شيء أكثر غرابة: خطوط مقاربة رأسية، خطوط مقاربة مائلة، وسلوك يتغير بشكل كبير بالقرب من أصفار المقام.
- الدوال الكسرية هي البوابة لفهم منحنيات أكثر تعقيداً.
ما هي الدالة الكسرية؟
- الدالة الكسرية هي كسر لمكتثي حدود: $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$.
- أصفار المقام تعطي خطوطاً مقاربة رأسية (حيما تصعد الدالة نحو $\pm\infty$).
مثال محلول. $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 2}$. خط مقارب رأسي عند $x = 2$. بالقسمة: $f(x) = x + 2 + \dfrac{3}{x-2}$. الخط المقارب المائل هو $y = x + 2$.
الدوال الكسرية
y = a/(x − b) + c
الدالة الكسرية لها مقارب يقترب منه المنحنى لكنه لم يلمسه أبداً.
الدالة الكسرية هي كسر مكون من كثيرين حدوديين.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
هذا هو التعريف — كثير حدود واحد فوق آخر.
الخطوط المقاربة المائلة (المائلة)
- عندما يكون للجزء العلوي درجة أعلى من السفلى، يكون للرسم البياني خط مقارب مائل — يتم إيجاده بالقسمة المطولة لكثيرات الحدود.
- حد الباقي يختفي عندما $x \to \infty$، تاركاً القسمة كخط مقارب.
المنحنى يلتصق بالخط المقارب الرأسي x = 2 والخط المقارب المائل y = x + 2 بعيداً عن نقطة الأصل.
لا تنسَ الباقي. عند القسمة، الدالة تساوي القسمة زائد الباقي مقسوماً على المقام. الخط المقارب هو مجرد القسمة — الباقي يخبرك من أي جانب يقترب المنحنى.
الدالة الكسرية لها مقارب مائل (انحرازي) عندما تكون درجة البسط:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
عندما تتجاوز درجة البسط درجة المقام، فإن القسمة تترك خطاً مائلاً يقترب منه المنحنى.
تجد مقارباً مائلاً عن طريق:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تعطي قسمة كثير الحدود الجزء الخطي الذي يقترب منه المنحنى بعيداً عن نقطة الأصل.
بالنسبة لـ f(x) = (x²−1)/(x−2)، اقسم لتحصل على f(x) = x + 2 + 3/(x−2). المقارب المائل هو y = x + ??
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
المقام هو x + 2، لذا المقارب المائل هو y = x + 2.
الرسوم البيانية ذات الصلة
- يجب عليك ربط $y = f(x)$ بـ:
- $y^2 = f(x)$ — يوجد فقط حيث $f(x) \geq 0$، متماثل حول محور $x$.
- $y = \dfrac{1}{f(x)}$ — تصبح الصفر مقارباً، والمقارب يصبح صفراً.
- $y = |f(x)|$ — تعكس الأجزاء السالبة فوق محور $x$.
- $y = f(|x|)$ — يعكس النصف الأيمن إلى اليسار.
بالنسبة لـ y = 1/f(x)، تصبح أصفار f(x) مقاربات عمودية.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
حيث f(x) = 0، تكون 1/f(x) غير معرفة — مما يعطي مقارباً عمودياً.
الرسم البياني لـ y = |f(x)| يتم الحصول عليه من y = f(x) عن طريق:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
القيمة المطلقة تعكس أي جزء من الرسم البياني أسفل محور x إلى الأعلى.
مثال محلول — رسم $y = \dfrac{1}{f(x)}$
- إذا كان $f(x) = x^2 - 4$ (أصفار عند $\pm 2$، قيمة صغرى عند $(0, -4)$):
- $\dfrac{1}{f(x)}$ له خطوط تقارب رأسية عند $x = \pm 2$.
- الحد الأدنى لـ $f$ عند $-4$ يتحول إلى حد أقصى محلي لـ $\dfrac{1}{f}$ عند $-\dfrac{1}{4}$.
- إيجاد مجموعة القيم التي تأخذها دالة ناطقة باستخدام المميز، ونقاط الانعطاف.
لقد فهمت الأمر
- دالة ناطقة = كثير حدود ÷ كثير حدود
- درجة البسط > درجة المقام → تقارب مائل (يتم إيجاده بالقسمة)
- احفظ الرسوم البيانية ذات الصلة: $y^2 = f$، $1/f$، $|f|$، $f(|x|)$