جذور المعادلات كثيرة الحدود
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | تربيعي |
| root/ruːt/ | جذر |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | معامل |
| cubic/ˈkjuːbɪk/ | تكعيبي |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | التعويض |
السر المخفي في كل معادلة
- كل معادلة تربيعية تخفي عددين — جذورها. يمكنك إيجاد مجموعهم وحاصل ضربهم دون حل المعادلة تماماً.
- هذه العلاقات بين الجذور ومعاملات المعادلة تفتح أبواباً لمسائل تتطلب عادة جبراً معقداً.
جذور المعادلة التربيعية
- للمعادلة $ax^2 + bx + c = 0$ بجذوري $\alpha, \beta$:
مثال محلول. $2x^2 - 7x + 3 = 0$. مجموع الجذور $= \dfrac{7}{2}$، والجداء $= \dfrac{3}{2}$. التحقق: الجذور هي $3$ و$\dfrac{1}{2}$: المجموع $= 3.5$ ✓، والجداء $= 1.5$ ✓.
جذور المعادلة التربيعية وكيفية ارتباطها بمعاملاتها
جذور كثير حدود
y = ax³ + bx² + cx + d
الجذور هي النقاط التي يلتقي فيها المنحنى مع محور x — ومجموعها وحاصل ضربها مرتبطان بالمعاملات.
بالنسبة لـ x² − 5x + 6 = 0، ما هو مجموع الجذور α + β = −b/a؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
α + β = −b/a = −(−5)/1 = 5.
بالنسبة لـ x² − 5x + 6 = 0، ما هو حاصل الضرب αβ = c/a؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
αβ = c/a = 6/1 = 6.
جذور المعادلة التكعيبية
- لمعادلة تكعيبية $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ ذات جذور $\alpha, \beta, \gamma$:
- $\sum\alpha = -\dfrac{b}{a}$, $\sum\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$, $\alpha\beta\gamma = -\dfrac{d}{a}$.
انتبه للإشارات. مجموع الجذور هو $-\dfrac{b}{a}$ (سالب)، وحاصل ضرب ثلاثة جذور هو $-\dfrac{d}{a}$ (سالب أيضاً). خطأ الإشارات هو الخطأ الأكثر شيوعاً.
بالنسبة لـ x³ − 6x² + 11x − 6 = 0، مجموع الجذور Σα = −b/a. أوجد قيمتها.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Σα = −(−6)/1 = 6. (الجذور هي 1، 2، 3: المجموع = 6.)
بالنسبة لـ ax³ + bx² + cx + d = 0، حاصل ضرب الجذور αβγ = d/a.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
حاصل ضرب ثلاثة جذور هو αβγ = −d/a (سالب)، وليس d/a.
صل كل علاقة لجذور بمعادلتها (المعامل الرائد a).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
تربيعي: α+β = −b/a، αβ = c/a. مكعب: Σα = −b/a، αβγ = −d/a (الإشارة تتناوب مع الدرجة).
تحويل الجذور
- لإيجاد معادلة جذورها تتغير ببساطة، استخدم التعويض (مثل $w = \alpha + 1$).
- مثال: $x^2 - 5x + 6 = 0$ ($\alpha+\beta=5$, $\alpha\beta=6$) → جذور $\alpha+1,\beta+1$ تعطي مجموع $7$، حاصل ضرب $12$، إذن $x^2 - 7x + 12 = 0$.
مع α + β = 5 و αβ = 6، ما هو حاصل الضرب (α+1)(β+1)؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(α+1)(β+1) = αβ + α + β + 1 = 6 + 5 + 1 = 12.
مثال محلول — إيجاد $\alpha^2 + \beta^2$
- معطى $x^2 - 5x + 6 = 0$: $\alpha + \beta = 5$, $\alpha\beta = 6$.
- $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 25 - 12 = 13$.
- المجاميع مثل $\sum\alpha$ هي دوال متماثلة للجذور.
بالنسبة لـ x² − 5x + 6 = 0، α² + β² = (α+β)² − 2αβ. أوجد قيمتها.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(α+β)² − 2αβ = 25 − 12 = 13.
لقد فهمت الأمر
- تربيعي: $\alpha+\beta = -\dfrac{b}{a}$, $\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$
- تكعيبي: $\sum\alpha = -\dfrac{b}{a}$, $\sum\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$, $\alpha\beta\gamma = -\dfrac{d}{a}$
- حول الجذور باستخدام التعويض