5 · التفاضل والتكامل

تركيز HL المعتمد. أول تقييم 2021؛ مستمر حتى 2028. دورات التقييم الأولي-2029 منفصلة. تظل المتطلبات الأخرى للمعلمة والتقييم والعمل العملي كما هي مسجلة.

المتطلبات السابقة: قراءة الكميات والوحدات المعلنة، واستخدام الحساب وشرط النموذج أدناه. طور كل درس طريقته الخاصة قبل النقل المستقل.

هذه أمثلة تعليمية أصلية أو خيالية صراحةً، وليست قياسات فعلية أو تحقيقات مُقيّمة مكتملة من المتعلمين.

ما هو الميل عند نقطة واحدة؟

• الطريق المنحني له ميل مختلف عند مواقع مختلفة. لا يمكن أن يصف الميل المتوسط كل نقطة.
• تدرس هذه الدرس المشتقة: معدل التغير اللحظي، وأيضاً ميل المماس.

اختر البنية الرياضية

• بالنسبة لـ y=ax^n، dy/dx=anx^(n-1). النقطة الثابتة تحقق dy/dx=0. تحقق من تغير إشارة المشتقة، أو المشتقة الثانية عندما تكون غير صفرية، لتصنيفها.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

بالنسبة لـ y=x³-3x، dy/dx=3x²-3. عند x=1، الميل هو 0 و y=-2. المشتقة الثانية هي 6x، موجبة عند x=1، لذا فهي نقطة صغرى محلية. عند x=-1، y=2 والمشتقة الثانية سالبة، مما يعطي نقطة عظمى محلية.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• لا يعني الصفر في المشتقة دائماً وجود عظمى أو صغرى: دالة y=x³ ثابتة عند 0 لكنها تستمر في الزيادة. يمكن أيضاً أن تنتج نقطة نهاية قيمة حدية على مجال محدد.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

كل نقطة لها مشتقة صفرية هي عظمى محلية أو صغرى محلية. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.

فسّر موقفًا جديدًا

• في مستوى GCSE/IGCSE استخدم فقط نطاق كثيرات الحدود المسموح به حسب المستوى؛ لا تضيف قواعد السلسلة والجداء والقسمة هناك. في المستويات المتقدمة، ربط المشتقة بالمعدلات والتحسين مع مجال صالح.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

معدل التغير اللحظي، وأيضاً ميل المماس. اختر العلاقة، أشر إلى الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.

ما مدى موثوقية التقريب؟

• المعادلة غير الخطية ليس لها حل دقيق مريح. لا يزال التقريب بحاجة إلى دليل على أنه موثوق.
• تدرس هذه الدرس التكرار: تحديث متكرر يتم فيه حساب كل تقريب جديد بناءً على السابق منه.

اختر البنية الرياضية

• دالة متصلة ذات إشارات متضاربة عند طرفين لها جذر بينهما. تستخدم طريقة نيوتن x التالي=x- f(x)/f'(x)، مع مشتق لا يساوي صفراً. تقرب قاعدة شبه المنحرف التكامل المحدد باستخدام ارتفاعات الأطراف.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

بالنسبة لـ f(x)=x²-2 و x₀=1.5، يعطي نيوتن x₁=1.5-(2.25-2)/3=1.4166667. مع y=x² على [0,2] وشريحتين متساويتين، h=1 ومساحة شبه المنحرف=(1/2)(0+2×1+4)=3؛ المساحة الدقيقة هي 8/3.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• تغير الإشارة عبر انقطاع لا يثبت وجود جذر. قد تتباعد عملية التكرار أو تدور في حلقة. يعتمد التقدير الزائد أو الناقص لقاعدة شبه المنحرف على الانحناء، وليس فقط على ما إذا كانت الدالة تزايدية.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

كل تغير إشارة يثبت وجود جذر، بما في ذلك الذي يحدث عبر انقطاع. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح التعريف أو الافتراض الذي ينتهكه.

فسّر موقفًا جديدًا

• قدم معياراً للتوقف وأبلغ عن دقة معقولة. تأكد من الجذر المقرب بإطار إشارات حول الإجابة المدورة المذكورة؛ واشرح أي فشل في عملية التكرار المختارة.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

تحديث متكرر يتم فيه حساب كل تقريب جديد بناءً على السابق له. اختر العلاقة، بيّن الطريقة، تحقق من افتراضاتها وتفسير النتيجة.

هل يتغير التعبير الداخلي أيضاً؟

• منحنى التكلفة هو قوة لتعبير متغير. اشتقاق القوة الخارجية وحده يفوت معدل مدخلاته.
• تدرس هذه الدرس قاعدة السلسلة: القاعدة التي تضرب المشتقة الخارجية في المشتقة الداخلية لدالة مركبة.

اختر البنية الرياضية

• بالنسبة لـ y=f(g(x))، y prime=f prime(g(x))g prime(x). بالنسبة لـ uv، اشتق لتحصل على u prime v+uv prime. بالنسبة لـ u/v، استخدم (u prime v-uv prime)/v²، حيث v≠0.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

بالنسبة لـ y=(3x+1)^4، y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. عند x=0، الميل هو 12. بالنسبة لـ x²+y²=25، اشتق بشكل ضمني: 2x+2y y prime=0، إذن y prime=-x/y عندما y≠0.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• مشتقة الجداء ليست جداء المشتقات. في الاشتقاق الضمني، كل دالة مشتقة من y تجلب عاملاً dy/dx. مقام الكسر يُربَّع.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

مشتقة u(x)v(x) هي دائماً u prime ضرب v prime. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.

فسّر موقفًا جديدًا

• اختر شكلاً مفيداً قبل الاشتقاق: فك القوس لكثير حدود قصير قد يكون أبسط. بالنسبة للمعدلات المرتبطة، اكتب العلاقة بالرموز، اشتق بالنسبة للزمن، ثم عوض بالقيم المقاسة.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

القاعدة التي تضرب المشتقة الخارجية في المشتقة الداخلية لدالة مركبة. حدد العلاقة، ووضح الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وتفسير النتيجة.

هل يمكننا تكامل العوامل الاثنين بشكل منفصل؟

• حاصل ضرب بسيط يبدو كـ xe^x لا يمكن تكامله عن طريق تكامل كل عامل على حدة.
• تدرس هذه الدرس التكامل بالتجزئة: طريقة تكامل مبنية على مشتقة حاصل الضرب.

اختر البنية الرياضية

• استخدم التعويض عندما يظهر مشتقة داخلية كعامل. بالتجزئة، تكامل u v' = uv - تكامل u' v. بالنسبة للدالة الكسرية، قسّم أولاً إذا لزم الأمر، ثم فكه إلى كسور جزئية.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

من أجل تكامل xe^x dx، خذ u=x وv prime=e^x. إذن التكامل هو xe^x-e^x+C. من أجل تكامل 2x/(x²+1) dx، عوض w=x²+1، dw=2x dx؛ الإجابة هي ln(x²+1)+C.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• اختيار u و v prime بشكل جيد مهم: يجب أن يصبح التكامل المتبقي أبسط. في التعويض المحدد، قم بتغيير الحدود أو عد إلى x قبل تطبيق الحدود الأصلية.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

تكامل حاصل الضرب يساوي حاصل ضرب تكاملاته المنفصلة. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.

فسّر موقفًا جديدًا

• تحقق عن طريق الاشتقاق. لحجوم الدوران حول محور x استخدم V=π تكامل y² dx؛ لا تخلط بين مربع الدالة وتكامل الدالة.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

طريقة تكامل تعتمد على مشتقة حاصل ضرب دالتين. حدد العلاقة، ووضح الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وفسر النتيجة.

ماذا يحدد القيمة الابتدائية؟

• معدل نمو السكان يتناسب مع حجمه الحالي. تصف معادلة المعدل عائلة كاملة حتى يتم توفير عدد سكان أولي.
• تدرس هذه الدرس الشرط الأولي: قيمة محددة تختار حلاً معيناً من العائلة.

اختر البنية الرياضية

• بالنسبة لـ dy/dx=ky، افصل المتغيرات: dy/y=k dx، مما يعطي y=Ae^(kx). استخدم شرطاً ابتدائياً لإيجاد A. تأخذ طريقة أويلر الصيغة y_next=y+h f(x,y)، مع خطوة h مختارة.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

مع dy/dx=0.5y و y(0)=2، يكون y=2e^(0.5x). أويلر مع h=0.2 يعطي y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 و y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. القيمة الدقيقة الثانية حوالي 2.4428.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• تحدد الشرط الابتدائي ثابت التكامل؛ ولا يحل محل عملية التكامل. القسمة على y قد تستبعد حلاً متوازياً y=0. دقة إويلر تعتمد على حجم الخطوة والمعادلة.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

كل حجم خطوة يعطي نفس تقريب أويلر تمامًا. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح التعريف أو الافتراض الذي ينتهكه.

فسّر موقفًا جديدًا

• بالنسبة للمعادلات الخطية من الرتبة الثانية، اجمع الدالة المكملة مع تكامل جزئي مناسب، ثم طبق شروط البداية المطلوبة. هذا ضمن نطاق Further Pure؛ تحقق من الوحدة المحددة.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

قيمة محددة تختار حلاً معيناً من العائلة. اختر العلاقة، أشر إلى الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.