التعويض، الأجزاء والكسور الجزئية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | التكامل بالتجزئة |
هل يمكننا تكامل العاملين بشكل منفصل؟
- حاصل ضرب بسيط يبدو كـ xe^x لا يمكن تكامله عن طريق تكامل كل عامل على حدة.
- تدرس هذه الدرس التكامل بالتجزئة: طريقة تكامل مبنية على مشتقة حاصل الضرب.
اختر البنية الرياضية
- استخدم التعويض عندما يظهر مشتقة داخلية كعامل. بالتجزئة، تكامل u v' = uv - تكامل u' v. بالنسبة للدالة الكسرية، قسّم أولاً إذا لزم الأمر، ثم فكه إلى كسور جزئية.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
لماذا يناسب التعويض w=x²+1 تكامل 2x/(x²+1)؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
مع w=x²+1، dw=2x dx، ويصبح التكامل ∫dw/w=ln|w|+C. التعويض قوي precisely عندما يظهر المشتق الداخلي كعامل.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
من أجل تكامل xe^x dx، خذ u=x وv prime=e^x. إذن التكامل هو xe^x-e^x+C. من أجل تكامل 2x/(x²+1) dx، عوض w=x²+1، dw=2x dx؛ الإجابة هي ln(x²+1)+C.
التعويض، الأجزاء والكسور الجزئية
V/π = تكامل من 0 إلى 3 لـ x² dx = 9
يعرض الويدجت دالة تكامل الحجم y²=x² بالنسبة لـ y=x؛ قارن القيمة الدقيقة 9 مع التحقق من الحجم.
احسب التكامل لـ xe^x من 0 إلى 1.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الدالة العكسية هي (x-1)e^x. عند التعويض بـ 1 و0 نحصل على 0 و-1، لذا فإن قيمة التكامل تساوي 1.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- اختيار u و v prime بشكل جيد مهم: يجب أن يصبح التكامل المتبقي أبسط. في التعويض المحدد، قم بتغيير الحدود أو عد إلى x قبل تطبيق الحدود الأصلية.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
تكامل حاصل الضرب يساوي حاصل ضرب تكاملاته المنفصلة. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.
أوجد معامل ln(x²+1) في تكامل 2x/(x²+1).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
بوضع التعويض w=x²+1 نحصل على dw=2x dx، لذا يكون معامل ln(x²+1) هو 1.
تكامل حاصل الضرب يساوي حاصل ضرب التكاملات المنفصلة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
اختيار u وv prime بشكل صحيح مهم: يجب أن يصبح التكامل المتبقي أبسط. في التعويض المحدود، قم بتغيير حدود التكامل أو عد إلى x قبل تطبيق الحدود الأصلية.
تفسير موقف جديد
- تحقق عن طريق الاشتقاق. لحجوم الدوران حول محور x استخدم V=π تكامل y² dx؛ لا تخلط بين مربع الدالة وتكامل الدالة.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
أوجد الحجم مقسوماً على π عندما يدور المنحنى y=x حول محور x من 0 إلى 3.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
V/π = تكامل x² dx من 0 إلى 3 = [x³/3] = 9.
طابق كل تكامل مع الطريقة المناسبة له.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
اختر الطريقة حسب البنية: المشتق الداخلي يشير إلى التعويض، وحاصل ضرب أنواع مختلفة يشير إلى التجزئة، والكسر غير الصحيح يحتاج القسمة أولاً.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
طريقة تكامل تعتمد على مشتقة حاصل ضرب دالتين. حدد العلاقة، ووضح الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وفسر النتيجة.