دبلومة البكالوريا الدولية · IB Diploma · Mathematics: Applications and Interpretation · HL

1 · الأرقام والجبر

1.1

النطاق والشروط المسبقة

تركيز HL المعتمد. أول تقييم 2021؛ مستمر حتى 2028. دورات التقييم الأولي-2029 منفصلة. تظل المتطلبات الأخرى للمعلمة والتقييم والعمل العملي كما هي مسجلة.

المتطلبات السابقة: قراءة الكميات والوحدات المعلنة، واستخدام الحساب وشرط النموذج أدناه. طور كل درس طريقته الخاصة قبل النقل المستقل.

هذه أمثلة تعليمية أصلية أو خيالية صراحةً، وليست قياسات فعلية أو تحقيقات مُقيّمة مكتملة من المتعلمين.

1.2

الحساب الدقيق والتقدير

هل يمكننا التعبئة دون فائض؟

يقوم مورد بتعبئة 72 أقلام رصاص و90 أقلام حبر في حقائب هدايا متطابقة. كيف يمكننا تجنب الفوائض؟
تدرس هذه الدرس العوامل الأولية: العدد الأولي الذي يقسم العدد الصحيح تماماً.

اختر البنية الرياضية

تكشف العوامل الأولية عن البنية المشتركة. استخدم أصغر القوى الأولية المشتركة للعامل المشترك الأكبر وأكبرها للمضاعف المشترك الأصغر. قدّر قبل الحساب؛ استخدم الأقواس للحفاظ على ترتيب العمليات.
حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

$$a=\prod p_i^{\alpha_i},\quad b=\prod p_i^{\beta_i},\quad \operatorname{HCF}(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$$

تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

72=2^3×3^2 و 90=2×3^2×5. القاسم المشترك الأكبر هو 2×9=18. قم بصنع 18 أكياس تحتوي كل منها على 4 أقلام رصاص و5 أقلام حبر. المضاعف المشترك الأصغر هو 2^3×3^2×5=360.

العملية الحسابية الدقيقة والتقدير — رسم تعليمي أصيل

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

القاسم المشترك الأكبر يقسم كلا العددين، والمضاعف المشترك الأصغر هو مضاعف لكلاهما. يجيبان عن أسئلة مختلفة. التقدير العشري ليس كسراً دقيقاً.
عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين موجبين يكون دائماً أكبر من أي منهما. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك هذه العبارة.

فسّر موقفًا جديدًا

في ورقة الامتحان غير المحاسبة، احفظ الكسور دقيقة وأظهر الاختصار. في ورقة الامتحان المحاسبة، أدخل التعبير كاملاً وقارنه بتقديرك.
الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

عدد أولي يقسم العدد الصحيح تماماً. اختر العلاقة، اعرض الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.

1.3

النسب المئوية والنسبة والاستدلال التناسبي

هل يمكننا استعادة السعر الأصلي؟

انخفض سعر معطف بمقدار 20% ليصبح ¥240. الخصم يطبق على السعر الأصلي، وليس على سعر البيع.
يدرس هذا الدرس المعامل الضربي: العامل الذي يقوم بتغيير النسبة المئوية في عملية ضرب واحدة.

اختر البنية الرياضية

الزيادة بنسبة p% لها معامل ضرب 1+p/100؛ والنقصان له معامل ضرب 1-p/100. اعكس النسبة المئوية بالقسمة على المعامل الضربي. في النسبة، أوجد أولاً العدد الكلي للأجزاء.
حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

$$P_{\mathrm{new}}=P_{\mathrm{old}}\left(1+\frac{r}{100}\right)$$

تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

ليكن السعر الأصلي P. النموذج هو سعر البيع=0.8P. ومنه P=240/0.8=300. زيادة لاحقة بنسبة 20% تعطي 240×1.2=288، لذا التغيران لا يلغيان بعضهما البعض.

Percentages, ratio and proportional reasoning — original teaching diagram

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

يستخدم النسبة المئوية أساساً معلناً. طرح النسب المئوية يفقد هذا الأساس. بالنسبة للتغير المركب، اضرب المضاعفات؛ ولا تجمع النسب المئوية.
عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

انخفاض بنسبة 20% متبوعاً بزيادة بنسبة 20% يعيد السعر إلى نقطة البداية. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح أي تعريف أو افتراض يخالفه.

فسّر موقفًا جديدًا

للتناسب المباشر استخدم y=kx؛ للتناسب العكسي استخدم y=k/x. احسب k من زوج معروف قبل استخدام قيمة جديدة. حدد ما الذي أثبت ثابته.
الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

عامل يقوم بتغيير نسبة مئوية في عملية ضرب واحدة. اختر العلاقة، ووضح الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وفسر النتيجة.

1.4

المتتاليات والمتسلسلات والتكرار

هل يضيف التغير أم يضرب؟

خطة توفير تضيف ¥30 كل أسبوع؛ نمو عدد السكان بنسبة 5% سنويًا. الفروقات المتساوية والنسب المتساوية تتطلب نماذج مختلفة.
تدرس هذه الدرس النسبة المشتركة: المضروب الثابت بين الحدود المتتالية في المتتالية الهندسية.

اختر البنية الرياضية

للمتتالية الحسابية: u_n=a+(n-1)d ومجموع أول n حد S_n=n(2a+(n-1)d)/2. للمتتالية الهندسية: u_n=ar^(n-1) ومجموع أول n حد S_n=a(1-r^n)/(1-r). مجموع هندسي لانهائي موجود فقط إذا كان |r|<1.
حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

$$u_n=a+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$$

تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

بالنسبة لـ a=5، d=3، n=8، فإن u_8=5+7×3=26 و S_8=8(10+21)/2=124. بالنسبة لـ a=12، r=1/2، فإن مجموع اللانهائي S_∞=12/(1-1/2)=24. بالنسبة للعلاقة u_(n+1)=2u_n+1 مع u_1=1، فإن الحدود التالية هي 3,7,15.

متتاليات ومتسلسلات وتكرار — رسم تعليمي أصلي

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

الحد الأول له مؤشر 1، لذا الأس هو n-1. المتتالية قائمة من العناصر؛ المتسلسلة هي مجموع. يمكن للمتتالية الهندسية أن تتناوب في الإشارة ولا تزال تتقارب.
عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

كل متسلسلة هندسية لها مجموع محدود إلى ما لا نهاية. هذا الادعاء خاطئ. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه.

فسّر موقفًا جديدًا

اشرح ما إذا كان السياق يبرر التغير الجمعي أم الضربي. في المالية، اميز بين إيداع مفرد وتدفق من الإيداعات قبل اختيار صيغة المجموع.
الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

الثابت الضربي بين الحدود المتتالية للمتتالية الهندسية. اختر العلاقة، اعرض الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسّر النتيجة.

1.5

الانحدار، النماذج المالية والبقايا

هل يدعم البيانات التوقع؟

خط يتنبأ بمدة رحلة الحافلة بناءً على المسافة. خطأ حسابي صغير أقل أهمية من استخدام نموذج خارج نطاق أدلته.
تدرس هذه الدرس المقدار المتبقي (Residual): القيمة الملاحظة ناقص القيمة التي تتنبأ بها النموذج الملائم.

اختر البنية الرياضية

نموذج خطي y=a+bx له نقطة تقاطع a وميل b بوحدات سياقية. افحص المقدارات المتبقية ونطاق البيانات. للتغير النسبي المكرر استخدم نموذجاً هندسياً؛ للقروض اميز بين رأس المال، والمعدل، والسداد، والفترة.
حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

$$\widehat t=8+2d,\qquad e=t-\widehat t$$

تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

النموذج الملائم t=8+2d يتنبأ بـ 18 دقيقة عند d=5 كم. إذا كان الوقت الملاحظ هو 21، فإن الباقي (residual) هو 3 دقيقة. إيداع ¥1000 بفائدة سنوية مركبة 5% يصبح 1000×1.05³=1157.625 بعد 3 سنوات.

الانحدار، النماذج المالية والمخلفات — رسم تعليمي أصلي

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

الدقة الجيدة لا تثبت آلية سببية. معامل الارتباط يقيس الارتباط الخطي، وليس الميل. يجب ترجمة مخرجات الآلة الحاسبة إلى نموذج، ثم فحصه وتفسيره.
عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

يسمح ارتباط عالي بالاستقراء الموثوق إلى أي مسافة. هذا الادعاء خاطئ. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه هذا الادعاء.

فسّر موقفًا جديدًا

في IB AI، سجّل مصدر البيانات، المجال، الافتراضات وطريقة الآلة الحاسبة. قارن بنموذج بديل وحكّم على التنبؤات مقابل البواقي. يجب أن تتضمن الإجابة المالية توقيت الدفع وما إذا كانت الفائدة مركبة أم لا.
الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

القيمة المرصودة ناقص القيمة المتوقعة من قبل النموذج الملاءم. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وفسر النتيجة.

مفردات تدريب

English	العربية
prime factor/praɪm ˈfæktə/	العامل الأولي
multiplier/ˌmʌltɪˈplaɪə/	المُعامل
common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/	النسبة المشتركة
residual/rɪˈsɪdʒuːəl/	الباقي
determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/	المحدد
complex conjugate/ˈkɒmpleks ˈkɒndʒuːɡeɪt/	مرافق العدد المركب

1.6

تحويلات المصفوفات والمقلوبات والقيم الذاتية

إلى أين تتجه متجهات الأساس؟

التمثيز يمد في اتجاه ويشوه آخر. المصفوفة تسجل تحويل كل متجه أساس.
هذه الدرس يدرس المحدد: مقدار قياسي يحدد ما إذا كانت مصفوفة مربعة قابلة للعكس وفي بعدين، عامل مساحتها الموجه.

اختر البنية الرياضية

مصفوفة 2×2 [[a,b],[c,d]] لها محدد ad-bc وعكس [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) إذا كان المحدد غير صفري. حول متجهات الأعمدة بالضرب من اليسار. المصفوفة اليمنى تعمل أولاً في الضرب.
حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$$

تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

بالنسبة للمصفوفة A=[[2,1],[0,3]]، محدد المصفوفة det A=6. A(1,2)=(4,6). معكوسها هو [[1/2,-1/6],[0,1/3]]. المعادلة المميزة هي (2-λ)(3-λ)=0، لذا فإن القيم الذاتية هي 2 و3.

تحويلات المصفوفات والعكوس والقيم الذاتية — رسم تعليمي أصيل

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

ضرب المصفوفات ليس عادةً إبدالياً. محدد صفر يعني أن التحويل يفقد بُعداً وليس له عكس. القيم الذاتية والتقطير نطاق متقدم، وليست محتوى متجهات GCSE العادي.
عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

كل مصفوفة مربعة لها عكس. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.

فسّر موقفًا جديدًا

أوجد متجهًا ذاتيًا بحل (A-λI)v=0 حيث v≠0. اشرح المعنى الهندسي: هذا المتجه يحافظ على اتجاه خطه تحت التحويل.
الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

مقدار قياسي يحدد ما إذا كانت مصفوفة مربعة قابلة للعكس وفي بعدين، عامل مساحتها الموجه. اختر العلاقة، أظهر الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.

1.7

الأعداد المركبة والجذور

ماذا لو كان الجذر غير حقيقي؟

المعادلة x²+1=0 ليس لها جذور حقيقية. وتمتد نظام الأعداد ليمكّننا من تمثيل وحساب كلا الجذرين.
تدرس هذه الدرس المرافق المركب: وهو العدد الذي يتم الحصول عليه بعكس إشارة الجزء التخيلي.

اختر البنية الرياضية

اكتب z=a+bi حيث i²=-1. المرافق هو a-bi والـ z مضروباً في مرافقه = a²+b². المقدار هو √(a²+b²)؛ والحجة تتطلب الربع الصحيح. تظهر الجذور المرافقة في كثير الحدود ذات المعاملات الحقيقية.
حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

$$z=a+bi,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z\overline z=a^2+b^2$$

تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

بالنسبة لـ z=3+4i، فإن |z|=5 ومرافق z=3-4i. والمقلوب هو (3-4i)/25. بالنسبة لـ x²-6x+13=0، الجذور هي 3±2i. الضرب في المرافق يجعل المقام المركب عدداً حقيقياً.

الأعداد المركبة والجذور — الرسم التعليمي الأصلي

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

الجذر التربيعي للمجموع ليس مجموع الجذور التربيعية. وقد يعطي الظل العكسي (التانجس العكسي) وحده الربع الخاطئ. لا تخلط بين المقدار ومربع المقدار.
عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

بالنسبة لـ a+bi، فإن مقداره هو دائماً a+b. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض يخالفه هذا الادعاء.

فسّر موقفًا جديدًا

ارسم المحور الحقيقي أفقياً والمحور التخيلي عمودياً. بالنسبة للضرب، تُضرب المقادير وتُجمع الحجج؛ وتمدد القوى هذا النمط الهندسي عبر نظرية دي موافر.
الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

العدد الذي يتم الحصول عليه بعكس إشارة الجزء التخيلي. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وفسر النتيجة.

2 · الدوال

افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به

2.1

النطاق والشروط المسبقة

هذه أمثلة تعليمية أصلية أو خيالية صراحةً، وليست قياسات فعلية أو تحقيقات مُقيّمة مكتملة من المتعلمين.

مفردات تدريب

English	العربية
domain/dəˈmeɪn/	المجال
half-life/hɑːf laɪf/	نصف العمر

2.2

المجالات والدوال العكسية والتركيب

ما المدخلات المسموحة؟

نموذج الجذر التربيعي يعطي ناتجاً حقيقياً فقط لبعض المدخلات. معادلته وحدها لا تحدد دالة كاملة.
تدرس هذه الدرس المجال: مجموعة المدخلات المسموحة للدالة.

اختر البنية الرياضية

حدد المجال والمدى. بالنسبة للدالة العكسية، تأكد أولاً من أن الدالة أحادية في مجالها. تعني تركيب fg تطبيق g أولاً ثم f؛ يجب أن يكون المخرج الوسيط مدخلاً مسموحاً به لـ f.
حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

$$f(g(x))=(f\circ g)(x),\qquad f^{-1}(f(x))=x$$

تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

بالنسبة لـ f(x)=√(x-2)، x≥2 والمدى هو y≥0. من y=√(x-2)، x=y²+2. وبالتالي f inverse(x)=x²+2 مع x≥0. بالنسبة لـ g(x)=x+3، fg(1)=f(4)=√2.

المجال والدوال العكسية والتركيب — الرسم التوضيحي الأصلي

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

التربيع قد يُنتج حلولاً زائفة. تقييد مجال القطع المكافئ أمر ضروري قبل الادعاء بوجود دالة عكسية. الإزاحة الأفقية داخل f تكون بعكس الإشارة عن حركة الرسم البياني.
عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

كل دالة تربيعية على جميع الأعداد الحقيقية لها دالة عكسية. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه هذا الادعاء.

فسّر موقفًا جديدًا

تحقق من f(f inverse(x))=x على مجال الدالة العكسية. استخدم رسماً لتختبر ما إذا كان خط أفقي يقطع الرسم البياني الأصلي أكثر من مرة.
الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

مجموعة المدخلات المسموحة للدالة. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من فرضياتها، وفسر النتيجة.

2.3

الدوال الأسية واللوغاريتمات والنمذجة

لماذا يبقى نموذج التناقص موجباً؟

تركيز الدواء ينخفض بنفس النسبة المئوية كل ساعة. والطرح الثابت سيؤدي حتماً إلى توقع كمية سالبة.
تدرس هذه الدرس عمر النصف: الوقت اللازم لتناقص الكمية إلى نصف قيمتها الأولية.

اختر البنية الرياضية

بالنسبة لـ y=Ae^(kt)، k هو معدل طردي. بأخذ اللوغاريتمات نحصل على ln y=ln A+kt. تتطلب اللوغاريتمات موجبات كمدخلات، ولوغاريتم (x+y) لا يساوي لوغاريتم x + لوغاريتم y.
حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

$$y=Ae^{kt},\qquad \ln y=\ln A+kt$$

تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

إذا كانت y=80e^(-0.2t)، فإن y=40 تعطي e^(-0.2t)=1/2. ومنه t=ln2/0.2≈3.466. ولـ 3^x=20، فإن x=ln20/ln3. ورسم ln y مقابل t يخطي هذا النموذج الأسّي.

الدوال الأسية، اللوغاريتمات والنمذجة — الرسم التوضيحي الأصلي للمعلم

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

النموذج الأسي المُناسب هو مجرد نموذج، وليس ضماناً. حدد وحدات الزمن ونطاق الاستخدام. وk السالب يصف التناقص؛ والقيمة الابتدائية السالبة تتناقض عادة مع السياق.
عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

بالنسبة لـ x و y الموجبين، ln(x+y)=ln x+ln y. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه.

فسّر موقفًا جديدًا

قارن الملاحظات الفعلية مع النموذج. الانحرافات المنهجية قد تشير إلى تغير الظروف. وفي التقرير، اشرح ماذا يعني المعدل والقيمة الابتدائية، بدلاً من تقديم معادلة عارية.
الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

الوقت اللازم لتناقص الكمية إلى نصف قيمتها الأولية. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وتفسير النتيجة.

3 · الهندسة والمثلثات

افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به

3.1

النطاق والشروط المسبقة

هذه أمثلة تعليمية أصلية أو خيالية صراحةً، وليست قياسات فعلية أو تحقيقات مُقيّمة مكتملة من المتعلمين.

مفردات تدريب

English	العربية
scale factor/skeɪl ˈfæktə/	عامل المقياس
hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/	الوتر
resultant/rɪˈzʌltənt/	المحصلة

3.2

استنتاج الزوايا، والتشابه، والقياس

هل يتغير الحجم بنفس مقيار الطول؟

نموذج له أطوال ثلث طول الجسم الحقيقي. كم صغر مساحة وحجمه؟
يدرس هذا الدرس معامل القياس: المضاعف الذي يربط بين الأطوال المقابلة في الأشكال المتشابهة.

اختر البنية الرياضية

للأشكال المتشابهة بمعامل قياس الطول k، تتغير المساحات بمقدار k² والحجوم بمقدار k³. اذكر أسباب الزوايا صراحةً. مماس الدائرة عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس.
حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

$$\frac{A_2}{A_1}=k^2,\qquad \frac{V_2}{V_1}=k^3$$

تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

إذا كان معامل الطول من النموذج إلى الواقع هو 3، فإن مساحة نموذجية قدرها 12 سم² تعطي 12×3²=108 سم²، وحجم نموذجي قدره 8 سم³ يعطي 8×3³=216 سم³. أسطوانة نصف قطرها r=3، وطولها h=5 يكون حجمها πr²h=45π.

استنتاج الزوايا، والتشابه، والقياسات الهندسية — رسم تعليمي أصلي

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

الزوايا المتساوية وحدها لا تحدد التشابه، بل لا تحدد الحجم المتساوي. استخدم الأطوال المقابلة بنفس الترتيب. حول الوحدات الخطية قبل حساب المساحة أو الحجم، أو قم بتربيع/تكعيب عامل التحويل بشكل صحيح.
عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

مضاعفة كل طول في جسم صلب تضاعف حجمه. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.

فسّر موقفًا جديدًا

يجب أن يذكر الإثبات الهندسي اسم النظرية ذات الصلة، ويحدد الزاوية المتساوية أو النسبة، ويستنتج النتيجة. الرسم المقياسي يعتبر دليلاً فقط عندما يسمح السؤال بالقياس.
الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

المضاعف الذي يربط بين الأطوال المقابلة في الأشكال المتشابهة. اختر العلاقة، ووضح الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وفسر النتيجة.

3.3

المثلثات القائمة والمثلثات غير القائمة

أي ضلع يحتاجه السلم؟

يصل سلم إلى ارتفاع 4 م بينما يكون جذعه على مسافة 3 م من الجدار. ما هي الجوانب المعروفة، وما هو الزاوية التي نحتاجها؟
تدرس هذه الدرس الوتر: الجانب المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم.

اختر البنية الرياضية

في المثلث القائم a²+b²=c²؛ sinθ=المقابل/الوتر، cosθ=المجاور/الوتر وtanθ=المقابل/المجاور. للمثلثات الأخرى، استخدم قاعدة الجيب أو جيب التمام، أو المساحة=ab sin C/2.
حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

$$a^2+b^2=c^2,\qquad \tan\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}$$

تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

طول السلم هو c=√(3²+4²)=5 م. زاويته مع الأرض تحقق tanθ=4/3، لذا θ≈53.1°. بجانبين 6 و8 يحيطان بزاوية 60°، فإن c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.

مثلثات قائمة ومثلثات غير قائمة — الرسم التعليمي الأصلي

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

عرّف الجوانب بالنسبة للزاوية المختارة. بايثاغورس يتطلب زاوية قائمة. قد يؤدي خطأ وضع الآلة الحاسبة للزوايا إلى نتيجة تبدو منطقية لكنها خاطئة. احتفظ بالقيم غير المقربة للخطوات اللاحقة.
عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

ينطبق بايثاغورس على كل مثلث، بما في ذلك المثلثات الخالية من الزاوية القائمة. هذا الادعاء خاطئ. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه.

فسّر موقفًا جديدًا

استخدم مخططاً أو منظراً أمامياً لمسألة ثلاثية الأبعاد قبل تطبيق قاعدة المثلث. اشرح لماذا يحتوي المثلث المختار على الطول أو الزاوية المطلوبة.
الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

الجانب المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم. اختر العلاقة، اعرض الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسّر النتيجة.

3.4

المتجهات وتحويل الهندسة

لماذا الإزاحة أقصر من المسير؟

المشي مسافة 4 م شرقاً و3 م شمالاً يعطي إزاحة مقدارها 5 م، على الرغم من أن المسافة المقطوعة هي 7 م.
تدرس هذه الدرس المحصلة: مجموع المتجهات الذي يمثل الإزاحة أو القوة المركبة.

اختر البنية الرياضية

أضف مركبات المتجه المقابلة. الإزاحة من A إلى B هي OB-OA. المتجهات المتوازية هي مضاعفات قياسية. للمتجه مقدار واتجاه؛ والمسافة كمية قياسية.
حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

$$\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf a,\qquad |\mathbf v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$

تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

مع a=(4,1) و b=(1,3)، فإن a+b=(5,4). حاصل الضرب القياسي هو a·b=4×1+1×3=7. مقدار a هو √17. بالنسبة لـ A=(1,2)، B=(5,5)، فإن AB=(4,3) و |AB|=5.

المتجهات والهندسة التحويلية — الرسم التوضيحي التعليمي الأصلي

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

ترتيب الطرح مهم: BA=-AB. إثبات التوازي يتطلب علاقة ضرب قياسي؛ الرسم التوضيحي وحده غير كافٍ. التكبير السلبي يعكس الموقع بالنسبة لمركزه.
عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

AB وBA لهما دائماً نفس المكونات. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح التعريف أو الافتراض الذي ينتهكه.

فسّر موقفًا جديدًا

بالنسبة للإزاحة، يستخدم كل نقطة نفس الإزاحة. لمسائل الخط المتقدمة، فرّق بين متجه الموضع ومتجه الاتجاه وحل المعادلات البارامترية بشكل متسق.
الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

مجموع المتجهات الذي يمثل الإزاحة أو القوة المركبة. اختر العلاقة، بيّن الطريقة، تحقق من افتراضاتها وتفسير النتيجة.

4 · الإحصاء والاحتمالات

افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به

4.1

Scope and prerequisites

English

Supported HL focus. First assessment 2021; current through 2028. First-assessment-2029 course is separate.. Remaining guide, assessment and practical requirements retain their recorded holds.

Prerequisites: read the stated quantities and units, use arithmetic and the model conditions below. Each lesson develops its own method before independent transfer.

These are original or explicitly fictional teaching examples, not actual measurements or completed assessed learner investigations.

4.2

ملخصات البيانات، المدرجات التكرارية والتفسير

English

Can one average tell the whole story?

Two groups have the same median but different spread. One summary cannot describe both location and consistency.
This lesson studies frequency density 频率密度: Frequency divided by class width, used as histogram height.

Choose the mathematical structure

Compare an appropriate average and spread in context. A histogram uses area for frequency, so height=frequency/class width. Grouped estimates assume representative values within intervals.
State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

$$\overline x=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \mathrm{density}=\frac{\mathrm{frequency}}{\mathrm{class\ width}}$$

Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

A class from 10 to 20 with frequency 30 has density 30/10=3. A class from 20 to 40 with frequency 20 has density 20/20=1. Its wider bar must not be mistaken for a larger density. For values 2,4,4,6,9, the median is 4 and mean is 5.

Data summaries, histograms and interpretation — original teaching diagram

Test a tempting shortcut

The tallest histogram bar need not contain the most observations. A grouped mean is an estimate. Correlation does not prove causation, and extrapolation extends beyond the observed range.
When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

A histogram bar's height always equals its frequency, even with unequal class widths. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

Choose a display that fits the data type. Give both a numerical comparison and what it means for the population; do not infer more precision than the sample supports.
A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

Current first-assessment-2021 Applications and Interpretation HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

Frequency divided by class width, used as histogram height. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

مفردات تدريب

English	العربية
frequency density/ˈfriːkwənsi ˈdensɪti/	كثافة التردد

4.3

احتمالات، الأشجار والاستدلال الشرطي

English

What changes after the first draw?

A bag has 3 red and 2 blue counters. Taking two without replacement changes the chance of the second colour.
This lesson studies conditional probability 条件概率: The probability of an event after restricting the sample space to a stated condition.

Choose the mathematical structure

Multiply along a tree branch and add disjoint branches. With replacement, the composition stays fixed. Conditional probability is P(A given B)=P(A∩B)/P(B), for P(B)>0.
State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$

Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

Without replacement, P(two red)=3/5×2/4=3/10. P(one of each)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. If P(A∩B)=0.12 and P(B)=0.3, P(A given B)=0.4.

Probability, trees and conditional reasoning — original teaching diagram

Test a tempting shortcut

Mutually exclusive means no overlap; independent means that knowing one event does not change the other's probability. Two disjoint events with positive probability are not independent.
When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Mutually exclusive events with positive probabilities must be independent. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

A two-way table makes the restricted denominator visible. Before using a product P(A)P(B), justify independence from the context or the supplied information.
A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

Current first-assessment-2021 Applications and Interpretation HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The probability of an event after restricting the sample space to a stated condition. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

مفردات تدريب

English	العربية
conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/	الاحتمال الشرطي

4.4

نماذج ثنائية وتوزيع طبيعي وبواسون

English

What makes a count predictable?

A quality inspector counts defective items. The number is random, but a model can describe its likely range.
This lesson studies expected value 期望值: The probability-weighted mean of a random variable.

Choose the mathematical structure

A binomial model needs fixed n, independent trials, two outcomes and constant p. E(X)=np and Var(X)=np(1-p). For a normal model use z=(x-μ)/σ. A Poisson model describes counts with a constant rate and appropriate independence assumptions.
State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad X\sim B(n,p)$$

Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

For X binomial(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 and Var(X)=0.8. For a normal quantity with μ=100,σ=15, the value 130 has z=2. A Poisson mean of 3 per hour gives mean 6 over two hours.

Binomial, normal and Poisson models — original teaching diagram

Test a tempting shortcut

Not every count is binomial: changing p or dependence can invalidate it. For a continuous variable, the probability of one exact value is zero. Continuity correction matters when approximating a discrete distribution by a normal one.
When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Every count of successes has a binomial distribution regardless of dependence. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

Write the event as an inequality before using calculator distribution functions. Distinguish P(X<k), P(X≤k) and a tail complement. State assumptions in context.
A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

Current first-assessment-2021 Applications and Interpretation HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The probability-weighted mean of a random variable. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

مفردات تدريب

English	العربية
expected value/ekˈspektɪd ˈvæljuː/	القيمة المتوقعة

4.5

Hypothesis testing and contextual conclusions

English

Could chance explain the result?

A factory claims that only 10% of items are defective. A sample contains more defects, but chance alone may explain some difference.
This lesson studies significance level 显著性水平: The chosen probability threshold for rejecting a null hypothesis.

Choose the mathematical structure

State H₀ and H₁ in population parameters before inspecting the outcome. Calculate the appropriate tail probability under H₀. Reject H₀ when the evidence meets the specified significance rule; otherwise say there is insufficient evidence.
State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

$$H_0:p=p_0,\qquad H_1:p>p_0$$

Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

For H₀:p=0.1 and H₁:p>0.1 with n=10, observing at least 3 defects has probability 1-(0.9^10+10×0.1×0.9^9+45×0.1²×0.9^8)≈0.070191. At 5%, this is insufficient evidence that the defect rate exceeds 10%.

Hypothesis testing and contextual conclusions — original teaching diagram

Test a tempting shortcut

Failing to reject H₀ is not proof that H₀ is true. Choose the tail from H₁, not from whichever tail gives a small result. Statistical significance does not measure the practical size of an effect.
When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Failing to reject a null hypothesis proves it is true. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

Finish with a sentence about the population and the original claim. State the model's assumptions and consider whether the sampling procedure supports them.
A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

Current first-assessment-2021 Applications and Interpretation HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The chosen probability threshold for rejecting a null hypothesis. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

مفردات تدريب

English	العربية
significance level/sɪɡˈnɪfɪkəns ˈlevl/	مستوى الدلالة

4.6

فترات الثقة، وتوزيع كاي-تربيع، والانحدار

English

How uncertain is the sample mean?

Two samples give different means. We need a statement about sampling uncertainty, not a promise that one sample equals the population.
This lesson studies confidence interval 置信区间: An interval calculated by a procedure designed to cover the population parameter at a stated long-run rate.

Choose the mathematical structure

For a normal mean with known σ, a 95% interval is sample mean±1.96σ/√n. For chi-square, sum (observed-expected)²/expected with the correct degrees of freedom. Choose a test that fits the data and assumptions.
State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

$$\overline x\pm1.96\frac{\sigma}{\sqrt n},\qquad \chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}$$

Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

With mean=50,σ=10,n=100, standard error=1 and the 95% interval is [48.04,51.96]. For observed counts 30 and 20 against expected 25 and 25, chi-square=25/25+25/25=2, before deciding degrees of freedom and the rejection threshold.

Confidence intervals, chi-square and regression — original teaching diagram

Test a tempting shortcut

A 95% confidence procedure does not give a 95% probability that a fixed population mean moves within this one interval. Expected counts and estimated parameters affect the validity and degrees of freedom of chi-square tests.
When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

A strong correlation alone establishes a causal relationship. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

Report uncertainty in the context. In regression, inspect residuals, avoid unjustified extrapolation, and distinguish a fitted relationship from a causal explanation. S3 and IB AI HL require different verified scope boundaries.
A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

Current first-assessment-2021 Applications and Interpretation HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

An interval calculated by a procedure designed to cover the population parameter at a stated long-run rate. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

مفردات تدريب

English	العربية
confidence interval/ˈkɒnfɪdəns ˈɪntəvl/	فصل الثقة

5 · التفاضل والتكامل

افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به

5.1

النطاق والشروط المسبقة

هذه أمثلة تعليمية أصلية أو خيالية صراحةً، وليست قياسات فعلية أو تحقيقات مُقيّمة مكتملة من المتعلمين.

مفردات تدريب

English	العربية
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	المشتقة
iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/	التكرار
chain rule/tʃeɪn ruːl/	قاعدة السلسلة
integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/	التكامل بالتجزئة
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	الشرط الابتدائي

5.2

المشتقات والنقاط الثابتة

ما هو الميل عند نقطة واحدة؟

الطريق المنحني له ميل مختلف عند مواقع مختلفة. لا يمكن أن يصف الميل المتوسط كل نقطة.
تدرس هذه الدرس المشتقة: معدل التغير اللحظي، وأيضاً ميل المماس.

اختر البنية الرياضية

بالنسبة لـ y=ax^n، dy/dx=anx^(n-1). النقطة الثابتة تحقق dy/dx=0. تحقق من تغير إشارة المشتقة، أو المشتقة الثانية عندما تكون غير صفرية، لتصنيفها.
حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\qquad f^{\prime}(x)=0$$

تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

بالنسبة لـ y=x³-3x، dy/dx=3x²-3. عند x=1، الميل هو 0 و y=-2. المشتقة الثانية هي 6x، موجبة عند x=1، لذا فهي نقطة صغرى محلية. عند x=-1، y=2 والمشتقة الثانية سالبة، مما يعطي نقطة عظمى محلية.

المشتقات والنقاط الثابتة — رسم تعليمي أصلي

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

لا يعني الصفر في المشتقة دائماً وجود عظمى أو صغرى: دالة y=x³ ثابتة عند 0 لكنها تستمر في الزيادة. يمكن أيضاً أن تنتج نقطة نهاية قيمة حدية على مجال محدد.
عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

كل نقطة لها مشتقة صفرية هي عظمى محلية أو صغرى محلية. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.

فسّر موقفًا جديدًا

في مستوى GCSE/IGCSE استخدم فقط نطاق كثيرات الحدود المسموح به حسب المستوى؛ لا تضيف قواعد السلسلة والجداء والقسمة هناك. في المستويات المتقدمة، ربط المشتقة بالمعدلات والتحسين مع مجال صالح.
الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

معدل التغير اللحظي، وأيضاً ميل المماس. اختر العلاقة، أشر إلى الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.

5.3

إيجاد الجذور والتكامل العددي

ما مدى موثوقية التقريب؟

المعادلة غير الخطية ليس لها حل دقيق مريح. لا يزال التقريب بحاجة إلى دليل على أنه موثوق.
تدرس هذه الدرس التكرار: تحديث متكرر يتم فيه حساب كل تقريب جديد بناءً على السابق منه.

اختر البنية الرياضية

دالة متصلة ذات إشارات متضاربة عند طرفين لها جذر بينهما. تستخدم طريقة نيوتن x التالي=x- f(x)/f'(x)، مع مشتق لا يساوي صفراً. تقرب قاعدة شبه المنحرف التكامل المحدد باستخدام ارتفاعات الأطراف.
حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}$$

تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

بالنسبة لـ f(x)=x²-2 و x₀=1.5، يعطي نيوتن x₁=1.5-(2.25-2)/3=1.4166667. مع y=x² على [0,2] وشريحتين متساويتين، h=1 ومساحة شبه المنحرف=(1/2)(0+2×1+4)=3؛ المساحة الدقيقة هي 8/3.

إيجاد الجذور والتكامل العددي — الرسم التوضيحي التعليمي الأصلي

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

تغير الإشارة عبر انقطاع لا يثبت وجود جذر. قد تتباعد عملية التكرار أو تدور في حلقة. يعتمد التقدير الزائد أو الناقص لقاعدة شبه المنحرف على الانحناء، وليس فقط على ما إذا كانت الدالة تزايدية.
عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

كل تغير إشارة يثبت وجود جذر، بما في ذلك الذي يحدث عبر انقطاع. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح التعريف أو الافتراض الذي ينتهكه.

فسّر موقفًا جديدًا

قدم معياراً للتوقف وأبلغ عن دقة معقولة. تأكد من الجذر المقرب بإطار إشارات حول الإجابة المدورة المذكورة؛ واشرح أي فشل في عملية التكرار المختارة.
الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

تحديث متكرر يتم فيه حساب كل تقريب جديد بناءً على السابق له. اختر العلاقة، بيّن الطريقة، تحقق من افتراضاتها وتفسير النتيجة.

5.4

اشتقاق السلسلة والجداء والمقام والمتغير الضمني

هل يتغير التعبير الداخلي أيضاً؟

منحنى التكلفة هو قوة لتعبير متغير. اشتقاق القوة الخارجية وحده يفوت معدل مدخلاته.
تدرس هذه الدرس قاعدة السلسلة: القاعدة التي تضرب المشتقة الخارجية في المشتقة الداخلية لدالة مركبة.

اختر البنية الرياضية

بالنسبة لـ y=f(g(x))، y prime=f prime(g(x))g prime(x). بالنسبة لـ uv، اشتق لتحصل على u prime v+uv prime. بالنسبة لـ u/v، استخدم (u prime v-uv prime)/v²، حيث v≠0.
حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$

تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

بالنسبة لـ y=(3x+1)^4، y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. عند x=0، الميل هو 12. بالنسبة لـ x²+y²=25، اشتق بشكل ضمني: 2x+2y y prime=0، إذن y prime=-x/y عندما y≠0.

الاشتقاق السلسلي، للمنتج، للقسمة والضمني — مخطط تعليمي أصلي

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

مشتقة الجداء ليست جداء المشتقات. في الاشتقاق الضمني، كل دالة مشتقة من y تجلب عاملاً dy/dx. مقام الكسر يُربَّع.
عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

مشتقة u(x)v(x) هي دائماً u prime ضرب v prime. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.

فسّر موقفًا جديدًا

اختر شكلاً مفيداً قبل الاشتقاق: فك القوس لكثير حدود قصير قد يكون أبسط. بالنسبة للمعدلات المرتبطة، اكتب العلاقة بالرموز، اشتق بالنسبة للزمن، ثم عوض بالقيم المقاسة.
الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

القاعدة التي تضرب المشتقة الخارجية في المشتقة الداخلية لدالة مركبة. حدد العلاقة، ووضح الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وتفسير النتيجة.

5.5

التعويض، الأجزاء والكسور الجزئية

هل يمكننا تكامل العوامل الاثنين بشكل منفصل؟

حاصل ضرب بسيط يبدو كـ xe^x لا يمكن تكامله عن طريق تكامل كل عامل على حدة.
تدرس هذه الدرس التكامل بالتجزئة: طريقة تكامل مبنية على مشتقة حاصل الضرب.

اختر البنية الرياضية

استخدم التعويض عندما يظهر مشتقة داخلية كعامل. بالتجزئة، تكامل u v' = uv - تكامل u' v. بالنسبة للدالة الكسرية، قسّم أولاً إذا لزم الأمر، ثم فكه إلى كسور جزئية.
حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

$$\int u v^{\prime}\,dx=uv-\int u^{\prime}v\,dx$$

تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

من أجل تكامل xe^x dx، خذ u=x وv prime=e^x. إذن التكامل هو xe^x-e^x+C. من أجل تكامل 2x/(x²+1) dx، عوض w=x²+1، dw=2x dx؛ الإجابة هي ln(x²+1)+C.

التعويض، التجزئة والكسور الجزئية — رسم تعليمي أصلي

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

اختيار u و v prime بشكل جيد مهم: يجب أن يصبح التكامل المتبقي أبسط. في التعويض المحدد، قم بتغيير الحدود أو عد إلى x قبل تطبيق الحدود الأصلية.
عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

تكامل حاصل الضرب يساوي حاصل ضرب تكاملاته المنفصلة. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.

فسّر موقفًا جديدًا

تحقق عن طريق الاشتقاق. لحجوم الدوران حول محور x استخدم V=π تكامل y² dx؛ لا تخلط بين مربع الدالة وتكامل الدالة.
الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

طريقة تكامل تعتمد على مشتقة حاصل ضرب دالتين. حدد العلاقة، ووضح الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وفسر النتيجة.

5.6

المعادلات التفاضلية والحلول العددية

ماذا يحدد القيمة الابتدائية؟

معدل نمو السكان يتناسب مع حجمه الحالي. تصف معادلة المعدل عائلة كاملة حتى يتم توفير عدد سكان أولي.
تدرس هذه الدرس الشرط الأولي: قيمة محددة تختار حلاً معيناً من العائلة.

اختر البنية الرياضية

بالنسبة لـ dy/dx=ky، افصل المتغيرات: dy/y=k dx، مما يعطي y=Ae^(kx). استخدم شرطاً ابتدائياً لإيجاد A. تأخذ طريقة أويلر الصيغة y_next=y+h f(x,y)، مع خطوة h مختارة.
حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$

تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

مع dy/dx=0.5y و y(0)=2، يكون y=2e^(0.5x). أويلر مع h=0.2 يعطي y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 و y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. القيمة الدقيقة الثانية حوالي 2.4428.

المعادلات التفاضلية والحلول العددية — الرسم التعليمي الأصلي

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

تحدد الشرط الابتدائي ثابت التكامل؛ ولا يحل محل عملية التكامل. القسمة على y قد تستبعد حلاً متوازياً y=0. دقة إويلر تعتمد على حجم الخطوة والمعادلة.
عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

كل حجم خطوة يعطي نفس تقريب أويلر تمامًا. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح التعريف أو الافتراض الذي ينتهكه.

فسّر موقفًا جديدًا

بالنسبة للمعادلات الخطية من الرتبة الثانية، اجمع الدالة المكملة مع تكامل جزئي مناسب، ثم طبق شروط البداية المطلوبة. هذا ضمن نطاق Further Pure؛ تحقق من الوحدة المحددة.
الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

قيمة محددة تختار حلاً معيناً من العائلة. اختر العلاقة، أشر إلى الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.

IA · استكشاف رياضي يشرف عليه المدرسة

افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به

6.1

النطاق والشروط المسبقة

هذه أمثلة تعليمية أصلية أو خيالية صراحةً، وليست قياسات فعلية أو تحقيقات مُقيّمة مكتملة من المتعلمين.

مفردات تدريب

English	العربية
assumption/əˈsʌmpʃn/	افتراض

6.2

تخطيط استكشاف رياضي

ما الذي يجعل التحقيقات رياضياتية؟

طالب يرغب في توقع وقت الانتظار في طابور الكافتيريا المدرسية. يحتاج الاستكشاف المفيد إلى سؤال وبيانات ورياضيات يمكن للطالب شرحها.
تدرس هذه الحصة الفرض: وهو شرط يُتبنى لجعل النموذج الرياضي ممكناً ويجب تقييم تأثيره.

اختر البنية الرياضية

صيغ سؤالاً مركزاً مع متغيرات قابلة للقياس وطريقة عملية. احتفظ بسجل مؤرخ للقرارات والمصادر والحجج الرياضية. استخدم التكنولوجيا لدعم التحليل، واشرح كل مخرجات مهمة بكلماتك الخاصة.
حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

$$\widehat t=1+0.2n,\qquad e=t-\widehat t$$

تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

سجل الطيار متوسط أوقات انتظار قدرها 3,5,7 دقيقة عندما يكون 10,20,30 أشخاصاً في المقدمة. نموذج أولي هو t=1+0.2n. عند n=25 يتوقع 6 دقيقة. انتظار فعلي قدره 8 يعطي باقٍ 2؛ تحقق من معدلات الخدمة المتغيرة بدلاً من إخفاء عدم التطابق.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

لا تنسخ استكشافاً عينة، ولا تخترع بيانات أو تصنع انخراطاً شخصياً. التوقع ليس دليلاً حتى يقارن بالملاحظات. consentimiento والخصوصية مهمان عند جمع بيانات مدرسية.
عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

يمكن استبدال الاستكشاف الرياضي المشرف عليه المدرسة باختبار محاكاة كتابي限时. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو فرض يخالفه.

فسّر موقفًا جديدًا

تشرف المدرسة على موافقة الموضوعات ومراحل التحقق والأصالة والتقييم. للاستخدام الحالي 2021، استخدم دليل المدرسة الحالي ومعاييرها؛ معايير الاستقصاء 2029 تتبع نسخة تقييم مختلفة.
الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

شرط يتبنى لجعل النموذج الرياضي ممكناً ويجب تقييم تأثيره. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وتفسير النتيجة.