1 · الأرقام والجبر

تركيز HL المعتمد. أول تقييم 2021؛ مستمر حتى 2028. دورات التقييم الأولي-2029 منفصلة. تظل المتطلبات الأخرى للمعلمة والتقييم والعمل العملي كما هي مسجلة.

المتطلبات السابقة: قراءة الكميات والوحدات المعلنة، واستخدام الحساب وشرط النموذج أدناه. طور كل درس طريقته الخاصة قبل النقل المستقل.

هذه أمثلة تعليمية أصلية أو خيالية صراحةً، وليست قياسات فعلية أو تحقيقات مُقيّمة مكتملة من المتعلمين.

هل يمكننا التعبئة دون فائض؟

• يقوم مورد بتعبئة 72 أقلام رصاص و90 أقلام حبر في حقائب هدايا متطابقة. كيف يمكننا تجنب الفوائض؟
• تدرس هذه الدرس العوامل الأولية: العدد الأولي الذي يقسم العدد الصحيح تماماً.

اختر البنية الرياضية

• تكشف العوامل الأولية عن البنية المشتركة. استخدم أصغر القوى الأولية المشتركة للعامل المشترك الأكبر وأكبرها للمضاعف المشترك الأصغر. قدّر قبل الحساب؛ استخدم الأقواس للحفاظ على ترتيب العمليات.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

72=2^3×3^2 و 90=2×3^2×5. القاسم المشترك الأكبر هو 2×9=18. قم بصنع 18 أكياس تحتوي كل منها على 4 أقلام رصاص و5 أقلام حبر. المضاعف المشترك الأصغر هو 2^3×3^2×5=360.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• القاسم المشترك الأكبر يقسم كلا العددين، والمضاعف المشترك الأصغر هو مضاعف لكلاهما. يجيبان عن أسئلة مختلفة. التقدير العشري ليس كسراً دقيقاً.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين موجبين يكون دائماً أكبر من أي منهما. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك هذه العبارة.

فسّر موقفًا جديدًا

• في ورقة الامتحان غير المحاسبة، احفظ الكسور دقيقة وأظهر الاختصار. في ورقة الامتحان المحاسبة، أدخل التعبير كاملاً وقارنه بتقديرك.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

عدد أولي يقسم العدد الصحيح تماماً. اختر العلاقة، اعرض الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.

هل يمكننا استعادة السعر الأصلي؟

• انخفض سعر معطف بمقدار 20% ليصبح ¥240. الخصم يطبق على السعر الأصلي، وليس على سعر البيع.
• يدرس هذا الدرس المعامل الضربي: العامل الذي يقوم بتغيير النسبة المئوية في عملية ضرب واحدة.

اختر البنية الرياضية

• الزيادة بنسبة p% لها معامل ضرب 1+p/100؛ والنقصان له معامل ضرب 1-p/100. اعكس النسبة المئوية بالقسمة على المعامل الضربي. في النسبة، أوجد أولاً العدد الكلي للأجزاء.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

ليكن السعر الأصلي P. النموذج هو سعر البيع=0.8P. ومنه P=240/0.8=300. زيادة لاحقة بنسبة 20% تعطي 240×1.2=288، لذا التغيران لا يلغيان بعضهما البعض.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• يستخدم النسبة المئوية أساساً معلناً. طرح النسب المئوية يفقد هذا الأساس. بالنسبة للتغير المركب، اضرب المضاعفات؛ ولا تجمع النسب المئوية.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

انخفاض بنسبة 20% متبوعاً بزيادة بنسبة 20% يعيد السعر إلى نقطة البداية. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح أي تعريف أو افتراض يخالفه.

فسّر موقفًا جديدًا

• للتناسب المباشر استخدم y=kx؛ للتناسب العكسي استخدم y=k/x. احسب k من زوج معروف قبل استخدام قيمة جديدة. حدد ما الذي أثبت ثابته.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

عامل يقوم بتغيير نسبة مئوية في عملية ضرب واحدة. اختر العلاقة، ووضح الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وفسر النتيجة.

هل يضيف التغير أم يضرب؟

• خطة توفير تضيف ¥30 كل أسبوع؛ نمو عدد السكان بنسبة 5% سنويًا. الفروقات المتساوية والنسب المتساوية تتطلب نماذج مختلفة.
• تدرس هذه الدرس النسبة المشتركة: المضروب الثابت بين الحدود المتتالية في المتتالية الهندسية.

اختر البنية الرياضية

• للمتتالية الحسابية: u_n=a+(n-1)d ومجموع أول n حد S_n=n(2a+(n-1)d)/2. للمتتالية الهندسية: u_n=ar^(n-1) ومجموع أول n حد S_n=a(1-r^n)/(1-r). مجموع هندسي لانهائي موجود فقط إذا كان |r|<1.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

بالنسبة لـ a=5، d=3، n=8، فإن u_8=5+7×3=26 و S_8=8(10+21)/2=124. بالنسبة لـ a=12، r=1/2، فإن مجموع اللانهائي S_∞=12/(1-1/2)=24. بالنسبة للعلاقة u_(n+1)=2u_n+1 مع u_1=1، فإن الحدود التالية هي 3,7,15.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• الحد الأول له مؤشر 1، لذا الأس هو n-1. المتتالية قائمة من العناصر؛ المتسلسلة هي مجموع. يمكن للمتتالية الهندسية أن تتناوب في الإشارة ولا تزال تتقارب.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

كل متسلسلة هندسية لها مجموع محدود إلى ما لا نهاية. هذا الادعاء خاطئ. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه.

فسّر موقفًا جديدًا

• اشرح ما إذا كان السياق يبرر التغير الجمعي أم الضربي. في المالية، اميز بين إيداع مفرد وتدفق من الإيداعات قبل اختيار صيغة المجموع.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

الثابت الضربي بين الحدود المتتالية للمتتالية الهندسية. اختر العلاقة، اعرض الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسّر النتيجة.

هل يدعم البيانات التوقع؟

• خط يتنبأ بمدة رحلة الحافلة بناءً على المسافة. خطأ حسابي صغير أقل أهمية من استخدام نموذج خارج نطاق أدلته.
• تدرس هذه الدرس المقدار المتبقي (Residual): القيمة الملاحظة ناقص القيمة التي تتنبأ بها النموذج الملائم.

اختر البنية الرياضية

• نموذج خطي y=a+bx له نقطة تقاطع a وميل b بوحدات سياقية. افحص المقدارات المتبقية ونطاق البيانات. للتغير النسبي المكرر استخدم نموذجاً هندسياً؛ للقروض اميز بين رأس المال، والمعدل، والسداد، والفترة.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

النموذج الملائم t=8+2d يتنبأ بـ 18 دقيقة عند d=5 كم. إذا كان الوقت الملاحظ هو 21، فإن الباقي (residual) هو 3 دقيقة. إيداع ¥1000 بفائدة سنوية مركبة 5% يصبح 1000×1.05³=1157.625 بعد 3 سنوات.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• الدقة الجيدة لا تثبت آلية سببية. معامل الارتباط يقيس الارتباط الخطي، وليس الميل. يجب ترجمة مخرجات الآلة الحاسبة إلى نموذج، ثم فحصه وتفسيره.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

يسمح ارتباط عالي بالاستقراء الموثوق إلى أي مسافة. هذا الادعاء خاطئ. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه هذا الادعاء.

فسّر موقفًا جديدًا

• في IB AI، سجّل مصدر البيانات، المجال، الافتراضات وطريقة الآلة الحاسبة. قارن بنموذج بديل وحكّم على التنبؤات مقابل البواقي. يجب أن تتضمن الإجابة المالية توقيت الدفع وما إذا كانت الفائدة مركبة أم لا.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

القيمة المرصودة ناقص القيمة المتوقعة من قبل النموذج الملاءم. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وفسر النتيجة.

إلى أين تتجه متجهات الأساس؟

• التمثيز يمد في اتجاه ويشوه آخر. المصفوفة تسجل تحويل كل متجه أساس.
• هذه الدرس يدرس المحدد: مقدار قياسي يحدد ما إذا كانت مصفوفة مربعة قابلة للعكس وفي بعدين، عامل مساحتها الموجه.

اختر البنية الرياضية

• مصفوفة 2×2 [[a,b],[c,d]] لها محدد ad-bc وعكس [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) إذا كان المحدد غير صفري. حول متجهات الأعمدة بالضرب من اليسار. المصفوفة اليمنى تعمل أولاً في الضرب.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

بالنسبة للمصفوفة A=[[2,1],[0,3]]، محدد المصفوفة det A=6. A(1,2)=(4,6). معكوسها هو [[1/2,-1/6],[0,1/3]]. المعادلة المميزة هي (2-λ)(3-λ)=0، لذا فإن القيم الذاتية هي 2 و3.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• ضرب المصفوفات ليس عادةً إبدالياً. محدد صفر يعني أن التحويل يفقد بُعداً وليس له عكس. القيم الذاتية والتقطير نطاق متقدم، وليست محتوى متجهات GCSE العادي.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

كل مصفوفة مربعة لها عكس. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.

فسّر موقفًا جديدًا

• أوجد متجهًا ذاتيًا بحل (A-λI)v=0 حيث v≠0. اشرح المعنى الهندسي: هذا المتجه يحافظ على اتجاه خطه تحت التحويل.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

مقدار قياسي يحدد ما إذا كانت مصفوفة مربعة قابلة للعكس وفي بعدين، عامل مساحتها الموجه. اختر العلاقة، أظهر الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.

ماذا لو كان الجذر غير حقيقي؟

• المعادلة x²+1=0 ليس لها جذور حقيقية. وتمتد نظام الأعداد ليمكّننا من تمثيل وحساب كلا الجذرين.
• تدرس هذه الدرس المرافق المركب: وهو العدد الذي يتم الحصول عليه بعكس إشارة الجزء التخيلي.

اختر البنية الرياضية

• اكتب z=a+bi حيث i²=-1. المرافق هو a-bi والـ z مضروباً في مرافقه = a²+b². المقدار هو √(a²+b²)؛ والحجة تتطلب الربع الصحيح. تظهر الجذور المرافقة في كثير الحدود ذات المعاملات الحقيقية.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

بالنسبة لـ z=3+4i، فإن |z|=5 ومرافق z=3-4i. والمقلوب هو (3-4i)/25. بالنسبة لـ x²-6x+13=0، الجذور هي 3±2i. الضرب في المرافق يجعل المقام المركب عدداً حقيقياً.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• الجذر التربيعي للمجموع ليس مجموع الجذور التربيعية. وقد يعطي الظل العكسي (التانجس العكسي) وحده الربع الخاطئ. لا تخلط بين المقدار ومربع المقدار.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

بالنسبة لـ a+bi، فإن مقداره هو دائماً a+b. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض يخالفه هذا الادعاء.

فسّر موقفًا جديدًا

• ارسم المحور الحقيقي أفقياً والمحور التخيلي عمودياً. بالنسبة للضرب، تُضرب المقادير وتُجمع الحجج؛ وتمدد القوى هذا النمط الهندسي عبر نظرية دي موافر.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

العدد الذي يتم الحصول عليه بعكس إشارة الجزء التخيلي. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وفسر النتيجة.