4 · الإحصاء والاحتمالات

دبلومة البكالوريا الدولية · IB Diploma · Mathematics: Applications and Interpretation · HL · الموضوع 4

عرض الشرائح تدريب

4.1

النطاق والشروط المسبقة

تغطي هذه الورقة موضوعات مختارة لمستوى مرتفع في المقرر الذي تم تقييمه لأول مرة في 2021؛ وهي ليست المنهج الكامل.

المؤهلات السابقة: قراءة الكميات والوحدات المحددة، واستخدام العمليات الحسابية وشروط النموذج أدناه.

الأمثلة أصيلة ومخترعة: فهي ليست قياسات حقيقية أو تحقيقات طلابية فعلية.

مفردات تدريب

English	العربية
frequency density/ˈfriːkwənsi ˈdensɪti/	كثافة التردد
conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/	الاحتمال الشرطي
expected value/ekˈspektɪd ˈvæljuː/	القيمة المتوقعة
significance level/sɪɡˈnɪfɪkəns ˈlevl/	مستوى الدلالة
confidence interval/ˈkɒnfɪdəns ˈɪntəvl/	فصل الثقة

4.2

ملخص البيانات، والخرائط التكرارية، والتفسير

هل يمكن لمتوسط واحد أن يحكي القصة كاملة؟

مجموعتان لهما نفس الوسيط لكن مع تباين مختلف. لا يمكن ملخص واحد أن يصف الموقع والاستقرار معاً.
تدرس هذه الدرس كثافة التردد: التردد مقسوماً على عرض الفئة، ويستخدم كارتفاع في المدرج التكراري.

الطريقة

قارن المتوسط المناسب والتشتت في السياق.
استخدام المدرج التكراري يعتمد على المساحة للتكرار، لذا الارتفاع = التكرار / عرض الفئة.
التقديرات المجمعة تفترض وجود قيم تمثيلية داخل الفئات.

حالة محلولة

$$\overline x=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \mathrm{density}=\frac{\mathrm{frequency}}{\mathrm{class\ width}}$$

مثال:

فئة من 10 إلى 20 بتردد 30 لها كثافة 30/10=3. فئة من 20 إلى 40 بتردد 20 لها كثافة 20/20=1. لا ينبغي الخلط بين العمود الأعرض لها وكثافة أكبر. للقيم 2,4,4,6,9، الوسيط هو 4 والمتوسط الحسابي هو 5.

رسم بياني شريطي للقيم 2، 4، 4، 6، 9: التواتر 1، 2، 1، 1 — للقيم 2، 4، 4، 6، 9: المتوسط = 25 ÷ 5 = 5، الوسيط = 4

أين يكمن الخطأ

ليس بالضرورة أن يحتوي أعلى عمود في المدرج التكراري على أكثر المشاهدات.
المتوسط المجموع هو تقدير.
الارتباط لا يثبت السببية، والاستقراء الامتدادي يتجاوز النطاق المرصود.

غير صحيح: لا يكون ارتفاع عمود التوزيع التكراري مساويًا دائمًا للتكرار، حتى مع فئات غير متساوية العرض. عند عدم تساوي الفئات، يكون الارتفاع كثافة التكرار؛ والتكرار هو مساحة العمود.

تطبيقها

اختر عرضاً يتناسب مع نوع البيانات.
قدم مقارنة عددية وما تعنيه بالنسبة للسكان، ولا تستنتج دقة أكبر مما تدعمه العينة.

في مادتك الدراسية

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

المفتاح:

الكثافة التكرارية: التكرار مقسوماً على عرض الفئة، وتُستخدم كارتفاع في المدرج التكراري.
قارن المتوسط المناسب والتشتت في السياق.
انتبه: لا يشترط أن يحتوي أعلى عمود في المدرج التكراري على أكثر المشاهدات.

اكتب بناءً على متوسط 9

صف بعرض 2 له تكرار 22.
القيم 5، 8، 8، 11 و 13 لها متوسط ووسيط. ارتفاع الشريط ليس دائماً التكرار.

استكشف

ملخصات البيانات، المدرجات التكرارية والتفسير

قارن متوسطاً وقياس تشتت مناسبين في السياق

اختر مركزاً ومقياس تشتت للملاحظات المحلولة.

4.3

الاحتمالات، والأشجار، والاستدلال الشرطي

ماذا يتغير بعد السحب الأول؟

يحتوي كيس على 3 قطعاً حمراء و2 قطعة زرقاء. أخذ قطعتين بدون إرجاع يغير احتمال اللون الثاني.
تدرس هذه الدرس الاحتمال الشرطي: احتمال حدث ما بعد تقييد فضاء العينة على شرط محدد.

الطريقة

اضرب على طول فرع الشجرة وأجمع الفروع المنفصلة.
عند الإرجاع، يبقى التركيب ثابتاً.
الاحتمال الشرطي هو P(A المعطى B)=P(A∩B)/P(B)، من أجل P(B)>0.

حالة محلولة

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$

مثال:

بدون إرجاع، P(أحمران)=3/5×2/4=3/10. P(واحد من كل نوع)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. إذا كان P(A∩B)=0.12 وP(B)=0.3، فإن P(A بشرط B)=0.4.

رسم بياني شريطي لسحبين بدون إرجاع من 3 حمراء و2 زرقاء: RR 0.3، RB 0.3، BR 0.3، BB 0.1 — بدون إرجاع: P(RR) = 3/5 × 2/4 = 0.3 و P(BB) = 2/5 × 1/4 = 0.1

أين يكمن الخطأ

الانحياز المتبادل يعني عدم وجود تداخل؛ الاستقلالية تعني أن معرفة حدث واحد لا تغير احتمال الحدث الآخر.
الحدثان المنفصلان ذات الاحتمال الموجب ليسا مستقلين.

غير صحيح: الأحداث المتبادلة الاستبعاد ذات الاحتمالات الموجبة ليست مستقلة. الأحداث المتبادلة الاستبعاد ذات الاحتمالات الموجبة مرتبطة: إذا حدث أحدهما، فلا يمكن للآخر أن يحدث، لذا P(A و B) = 0 ≠ P(A)P(B).

تطبيقها

الجدول ثنائي الأبعاد يجعل المقام المحدود واضحًا.
قبل استخدام حاصل الضرب P(A)P(B)، برر الاستقلال من السياق أو المعلومات المقدمة.

في مادتك الدراسية

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

المفتاح:

الاحتمال الشرطي: احتمال حدث بعد تقييد فضاء العينة على شرط محدد.
اضرب على طول فرع الشجرة وأجمع الفروع المنفصلة.
انتبه: المتبادلة الاستبعاد تعني عدم التداخل؛ الاستقلال يعني أن معرفة حدوث أحد الأحداث لا يغير احتمال الآخر.

اكتب بناءً على احتمال شرطي 0.72

P(A و B) يساوي 0.36 و P(B) يساوي 0.50.
أوجد P(A بشرط B). الأحداث المتبادلة الاستبعاد التي يمكن أن تحدث ليست مستقلة.

استكشف

احتمالات، الأشجار والاستدلال الشرطي

اضرب على طول فرع الشجرة واجمع الفروع المتنافية

قارن النموذج بالحالة المحلولة واشرح تغييراً واحداً.

4.4

نماذج ذات الحدين، والطبيعية، وبواسون

ما الذي يجعل العد قابلاً للتنبؤ؟

يعد مفتش الجودة عدد العناصر المعيبة. العدد عشوائي، لكن يمكن لنموذج ما وصف نطاقه المحتمل.
تدرس هذه الدرس القيمة المتوقعة: المتوسط المرجح بالاحتمالات لمتغير عشوائي.

الطريقة

النموذج الثنائي يحتاج إلى n ثابتة، تجارب مستقلة، نتيجتين، و p ثابت.
E(X) = np و Var(X) = np(1 - p).
لنموذج التوزيع الطبيعي استخدم z = (x - μ) / σ.
يصف نموذج بواسون العدود بمعدل ثابت وفرضيات استقلالية مناسبة.

حالة محلولة

$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad X\sim B(n,p)$$

مثال:

بالنسبة لـ X ثنائية التوزيع(5,0.2)، P(X=0)=0.8^5=0.32768، E(X)=1 وVar(X)=0.8. بالنسبة لكمية طبيعية بـ μ=100، σ=15، فإن القيمة 130 لها z=2. متوسط بواسون قدره 3 في الساعة يعطي متوسط 6 خلال ساعتين.

رسم بياني شريطي للتوزيع ذات الحدين مع n = 5 و p = 0.2: 1 نجاح هو الأكثر احتمالاً، بحوالي 0.41 — X ~ B(5, 0.2): P(X = 1) ≈ 0.41 هو أعلى عمود؛ P(X = 5) ضئيل جداً

أين يكمن الخطأ

ليست كل العدادات تتبع التوزيع الثنائي: تغيير p أو وجود الاعتمادية قد يلغي صلاحيته.
بالنسبة لمتغير مستمر، احتمال قيمة واحدة دقيقة يساوي صفرًا.
تصحيح الاستمرارية مهم عند تقريب توزيع متقطع بتوزيع طبيعي.

غير صحيح: كل عداد للنجاحات يتبع التوزيع الثنائي بغض النظر عن الاستقلالية. النموذج الثنائي يحتاج تجارب مستقلة باحتمال ثابت؛ التجارب المرتبطة تحطمه.

تطبيقها

اكتب الحدث كمتباينة قبل استخدام دوال التوزيع في الآلة الحاسبة.
اميز بين P(X < k) و P(X ≤ k) ومكمل الذيل.
صغ الافتراضات في سياق المسألة.

في مادتك الدراسية

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.

المفتاح:

القيمة المتوقعة: المتوسط الموزون بالاحتمالات للمتغير العشوائي.
النموذج الثنائي يحتاج إلى n ثابتة، تجارب مستقلة، نتيجتين، و p ثابت.
انتبه: ليست كل عدود تتبع التوزيع ثنائي الحد؛ فإن تغير الاحتمال أو وجود اعتماد يمكن أن يلغي صلاحيته.

اكتب بناءً على درجة z 5

قيمة 100 تأتي من توزيع بمتوسط 85 وانحراف معياري 3.
أوجد درجة z. يتطلب العد الثنائي تجارب مستقلة.

استكشف

From a raw value to a normal-model area

$z=(x-\mu)/\sigma$

Connect the lesson’s raw values to standardised bounds and the correct shaded region. Changing a model does not show that real data follow it.

4.5

اختبار الفرضيات والاستنتاجات السياقية

هل يمكن للصدفة أن تفسر النتيجة؟

تدعي مصنع أن نسبة المنتجات المعيبة فقط 10%. تحتوي العينة على عدد أكبر من العيوب، لكن الحظ وحده قد يفسر بعض الفروق.
يدرس هذا الدرس مستوى الدلالة: عتبة الاحتمال المختارة لرفض فرضية الصفر.

الطريقة

صغ H₀ و H₁ بدلالة معلمات المجتمع قبل فحص النتيجة.
احسب احتمال الذيل المناسب تحت فرضية H₀.
ارفض H₀ عندما يحقق الدليل قاعدة المعنى المحددة؛ وإلا فقل إن الدليل غير كافٍ.

حالة محلولة

$$H_0:p=p_0,\qquad H_1:p>p_0$$

مثال:

For H₀:p=0.1 and H₁:p>0.1 with n=10, observing at least 3 defects has probability 1-(0.9^10+10×0.1×0.9^9+45×0.1²×0.9^8)≈0.070191. At 5%, this is insufficient evidence that the defect rate exceeds 10%.

مخطط أعمدة لتوزيع ذات الحدين حيث n = 10 و p = 0.1، مع تظليل الأعمدة التي تمثل 3 أو أكثر من النجاحات كمنطقة حرجة — تحت توزيع B(10, 0.1)، P(X ≥ 3) ≈ 0.07: الذيل العلوي المظلل هو منطقة الدليل للاختبار

أين يكمن الخطأ

عدم رفض H₀ ليس دليلاً على صحة H₀.
اختر الذيل بناءً على H₁، وليس بناءً على أي ذيل يعطي نتيجة صغيرة.
المعنى الإحصائي لا يقيس الحجم العملي للتأثير.

غير صحيح: عدم رفض فرضية الصفر يثبت أنها صحيحة. عدم رفض فرضية الصفر يعني فقط عدم وجود ما يكفي من الأدلة ضدها.

تطبيقها

انهِ بجملة تتناول المجتمع والادعاء الأصلي.
State the model's assumptions and consider whether the sampling procedure supports them.

في مادتك الدراسية

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

المفتاح:

مستوى المعنى: عتبة الاحتمال المختارة لرفض فرضية الصفر.
صغ H₀ و H₁ بدلالة معلمات المجتمع قبل فحص النتيجة.
انتبه: عدم رفض H₀ ليس دليلاً على صحة H₀.

اكتب بناءً على قيمة p 0.12

قيمة p ذات الذيل الواحد هي 0.12 ومستوى الدلالة هو 5 بالمئة.
حدد ما إذا كنت سترفض فرضية الصفر. عدم الرفض لا يثبت صحتها.

استكشف

اختبار الفرضيات والاستنتاجات السياقية.

صغ H₀ وH₁ بدلالة معاملات المجتمع قبل فحص النتيجة.

قارن النموذج بالحالة المحلولة واشرح تغييراً واحداً.

4.6

فترات الثقة، كاي-تربيع والانحدار

كم عدم اليقين لمتوسط العينة؟

تعطي عينتان مختلفتان وسطين مختلفين. نحتاج إلى عبارة عن عدم اليقين في العينات، وليس وعداً بأن عينة واحدة تساوي المجتمع.
تدرس هذه الدرس الفترة الموثوقة: فترة تُحسب بإجراء مصمم لتغطية معياري المجتمع بمعدل طويل الأمد مُعلن.

الطريقة

للمتوسط الطبيعي بمعلومية σ، فإن فترة 95% هي متوسط العينة±1.96σ/√n.
لتوزيع كاي-تربيع، اجمع (الملاحظة-التوقع)²/التوقع مع عدد الدرجات الصحيحة للحرية.
اختر اختباراً يناسب البيانات والافتراضات.

حالة محلولة

$$\overline x\pm1.96\frac{\sigma}{\sqrt n},\qquad \chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}$$

مثال:

مع المتوسط=50، σ=10، n=100، الخطأ المعياري=1، والفترة 95% هي [48.04,51.96]. للعدود الملاحظة 30 و20 مقابل التوقعة 25 و25، كاي-تربيع=25/25+25/25=2، قبل تحديد درجات الحرية والعتبة الحرجة للرفض.

فترة ثقة 95% مرسومة كخط مستقيم من 48.04 إلى 51.96 حول متوسط عينة قدره 50 — فترة 95%: 50 ± 1.96 × 1 = 48.04 إلى 51.96

أين يكمن الخطأ

إجراء ثقة 95% لا يعطي احتمال 95% بأن يتحرك متوسط مجتمع ثابت داخل هذه الفترة الواحدة.
التأثيرات المتوقعة والمعايير المقدرة تؤثر على صحة اختبارات كاي-تربيع وعدد درجات الحرية.

غير صحيح: الارتباط القوي وحده لا يثبت علاقة سببية. يظهر الارتباط ارتباطاً؛ وقد تفسره متغير ثالث أو الصدفة، لذا تتطلب السببية تجربة أو أدلة أخرى.

تطبيقها

أدرج عدم اليقين في السياق.
في الانحدار، افحص البواقي، وتجنب الاستقراء غير المبرر، وُميّز بين العلاقة الملائمة والتفسير السببي.
يتطلب S3 و IB AI HL حدود نطاق موثقة مختلفة.

في مادتك الدراسية

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

المفتاح:

فترة الثقة: فترة يتم حسابها بإجراء مصمم لتغطية معيار المجتمع بمعدل طويل الأمد محدد.
للمتوسط الطبيعي بمعلومية σ، فإن فترة 95% هي متوسط العينة±1.96σ/√n.
انتبه: إجراء ثقة 95% لا يعطي احتمال 95% بأن يتحرك متوسط مجتمع ثابت داخل هذه الفترة الواحدة.

اكتب بناءً على قيمة كاي-تربيع 6

التكرارات المرصودة هي 18 و6. التكرارات المتوقعة هي 12 و12.
أوجد إحصائية كاي-تربيع. الارتباط القوي لا يثبت وجود سببية.

استكشف

فترات الثقة، وتوزيع كاي-تربيع، والانحدار

بالنسبة لمتوسط توزيع طبيعي بـ σ معروفة، فإن فاصل 95% هو: متوسط العينة ± 1

قارن النموذج بالحالة المحلولة واشرح تغييراً واحداً.

دروس تفاعلية حول هذا الموضوع

ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.

المزيد من المواضيع في دبلومة البكالوريا الدولية · IB Diploma · Mathematics: Applications and Interpretation · HL