دبلومة البكالوريا الدولية · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · HL · الموضوع 1
تغطي هذه الورقة موضوعات مختارة لمستوى مرتفع في المقرر الذي تم تقييمه لأول مرة في 2021؛ وهي ليست المنهج الكامل.
المؤهلات السابقة: قراءة الكميات والوحدات المحددة، واستخدام العمليات الحسابية وشروط النموذج أدناه.
الأمثلة أصيلة ومخترعة: فهي ليست قياسات حقيقية أو تحقيقات طلابية فعلية.
| English | العربية |
|---|---|
| prime factor/praɪm ˈfæktə/ | عامل أولي |
| index/ˈɪndeks/ | أس |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | نسبة مشتركة |
| multiplier/ˌmʌltɪˈplaɪə/ | مُضاعف |
| complex conjugate/ˈkɒmpleks ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | مرافق مركب |
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | معامل ذات الحدين |
| Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | كثير حدود تايلور |
مثال:
72=2^3×3^2 و 90=2×3^2×5. القاسم المشترك الأكبر هو 2×9=18. قم بصنع 18 أكياس تحتوي كل منها على 4 أقلام رصاص و5 أقلام حبر. المضاعف المشترك الأصغر هو 2^3×3^2×5=360.
غير صحيح: القاسم المشترك الأكبر لعدد صحيح موجب هو دائماً أكبر من أي عدد منهما. القاسم المشترك الأكبر يقسم كلا العددين، لذا لا يمكن أن يكون أكبر من الأصغر: القاسم المشترك الأكبر لـ 72 و 90 هو 18.
المفتاح:
الكواشف الأولية تكشف البنية المشتركة
اجمع الأسس المشتركة 2 و9 لتبرير 18 كيس متطابق.
مثال:
0.000072=7.2×10^(-5). أيضاً 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. بسّط √72=6√2، ثم استنتج $1/\sqrt{2}$=√2/2.
غير صحيح: لكل a موجبة، فإن a^2+a^3 يساوي a^5. قواعد الأسس تجمع الأسس فقط عند ضرب الحدود: 2²×2³=12، لكن 2⁵≠32.
المفتاح:
لنفس الأساس الموجب، عند الضرب تُجمع الأسس وعند القسمة تُطرح.
قارن النموذج بالحالة المحلولة واشرح تغييراً واحداً.
مثال:
بالنسبة لـ a=5، d=3، n=8، فإن u_8=5+7×3=26 و S_8=8(10+21)/2=124. بالنسبة لـ a=12، r=1/2، فإن مجموع اللانهائي S_∞=12/(1-1/2)=24. بالنسبة للعلاقة u_(n+1)=2u_n+1 مع u_1=1، فإن الحدود التالية هي 3,7,15.
غير صحيح: كل متسلسلة هندسية لها مجموع محدود إلى ما لا نهاية. يوجد مجموع إلى ما لا نهاية فقط عندما −1<r<1؛ أما بالنسبة لـ r=2 فإن الحدود تكبر بلا حدود.
المفتاح:
بالنسبة للتقدم الحسابي، u_n=a+(n-1)d و S_n=n(2a+(n-1)d)/2
قارن النموذج بالحالة المحلولة واشرح تغييراً واحداً.
مثال:
ليكن السعر الأصلي P. النموذج هو سعر البيع=0.8P. ومنه P=240/0.8=300. زيادة لاحقة بنسبة 20% تعطي 240×1.2=288، لذا التغيران لا يلغيان بعضهما البعض.
غير صحيح: انخفاض بنسبة 20% يليه زيادة بنسبة 20% يعيد السعر الابتدائي. لكن الزيادة بنسبة 20% تُحسب على مبلغ أصغر: 100×0.8×1.2=96، وليس 100.
المفتاح:
الزيادة بنسبة p% لها معامل 1+p/100؛ الانخفاض له معامل 1-p/100
اشرح لماذا يعطي انخفاض بنسبة 20% متبوعاً بزيادة بنسبة 20% قيمة 288 بدلاً من 300.
مثال:
بالنسبة لـ z=3+4i، فإن |z|=5 ومرافق z=3-4i. والمقلوب هو (3-4i)/25. بالنسبة لـ x²-6x+13=0، الجذور هي 3±2i. الضرب في المرافق يجعل المقام المركب عدداً حقيقياً.
غير صحيح: بالنسبة لـ a+bi، معيارها دائماً a+b. المعيار هو √(a²+b²): لـ 3+4i هو 5، وليس 7.
المفتاح:
اكتب z=a+bi حيث i²=-1
قارن النموذج بالحالة المحلولة واشرح تغييراً واحداً.
مثال:
(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. بالنسبة لـ (1+x)^(-1)، الحدوث الثلاثة الأولى هي 1-x+x²؛ عند x=0.1 يعطي هذا 0.91 مقابل القيمة الدقيقة 1/1.1≈0.909091.
غير صحيح: ليس كل مفكوك ثنائي هو كثير حدود محدود؛ فبعض الأسس ليست أعداداً صحيحة موجبة. وفي حالة الأس السالب أو الكسري، يكون المفكوك سلسلة لانهائية صالحة فقط عندما يكون |x|<1.
المفتاح:
لأجل العدد الصحيح الموجب n، فإن (a+b)^n هو توسع ثنائي حد محدود
قارن النموذج بالحالة المحلولة واشرح تغييراً واحداً.
مثال:
المصطلحات الثلاثة الأولى لـ e^x هي 1+x+x²/2. عند x=0.1 يعطي هذا 1.105، قريباً من e^0.1≈1.105170. بالنسبة لمجموع k² من k=1 إلى 5، فإن n(n+1)(2n+1)/6 يعطي 5×6×11/6=55.
غير صحيح: حدود تايلور يكون دائماً دقيقاً للدالة الأصلية عند كل مدخل. حدود تايلور هو تقريب؛ يكون دقيقاً عادةً فقط بالقرب من مركزه.
المفتاح:
حول x=a، f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+
قارن النموذج بالحالة المحلولة واشرح تغييراً واحداً.
ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.
جار تحميل المواضيع…