Binomial expansion and valid approximations
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | معامل ذات الحدين |
كيف يؤثر التغيير الصغير على قوة؟
- تغيير القياس الصغير يؤثر على قوة الكمية. يمكن أن تُظهر التوسيع حجم التأثيرات الأولى والثانية.
- تدرس هذه الدرس معامل ذات الحدين: عدد الطرق لاختيار عدد محدد من الأشياء من مجموعة.
اختر البنية الرياضية
- للعدد الصحيح الموجب n، فإن (a+b)^n هو توسيع ذات حدين محدود. للعدد غير الصحيح n، قم بتوسيع (1+x)^n كـ 1+nx+n(n-1)x²/2+... عندما |x|<1. أخرج الثوابت خارجياً قبل استخدام هذه الصيغة.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
For the infinite expansion of (1+2x)^(-1), which condition is required?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The validity condition |u|<1 applies to the whole bracket term u=2x, so |x|<1/2. Using |x|<1 would wrongly accept x=0.9, where the series diverges.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. بالنسبة لـ (1+x)^(-1)، الحدوث الثلاثة الأولى هي 1-x+x²؛ عند x=0.1 يعطي هذا 0.91 مقابل القيمة الدقيقة 1/1.1≈0.909091.
Binomial expansion and valid approximations
For positive integer n, (a+b)^n is a finite binomial expansion
Compare the model with the worked case and explain one change.
Find the coefficient of x² in (1+2x)^5.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Choose two of five factors and include 2²: C(5,2)×4=40.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- التوسع في 2x يتطلب |2x|<1 للسلسلة اللانهائية، وليس فقط |x|<1. التوسعات ذات الأسس الصحيحة الموجبة محدودة ولا تحتوي على ذلك القيد بالتقارب.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
كل توسع ذات حدين هو كثيرة حدود منتهية، بما في ذلك الأسس التي ليست أعداداً صحيحة موجبة. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح أي تعريف أو افتراض يخالفه.
Use 1-x+x² to estimate 1/(1+x) at x=0.1.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Substitute 0.1: 1-0.1+0.01=0.91.
Every binomial expansion is a finite polynomial, including powers that are not positive integers.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
An expansion in 2x requires |2x|<1 for the infinite series, not merely |x|<1. Positive-integer expansions are finite and do not have that convergence restriction.
تفسير موقف جديد
- حدد نطاق الصلاحية جنباً إلى جنب مع التقدير. احتفظ بعدد كافٍ من الحدود لدعم الدقة المطلوبة، وتميز المعامل عن الحد الكامل الذي يحتوي على x.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
How many terms are in the full expansion of (a+b)^5?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The powers run from 0 through 5, giving six terms.
Match each expansion fact to its statement.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Positive-integer powers expand finitely with binomial coefficients; other powers give infinite series that converge only inside the validity interval.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- التقييم الأول الحالي-2021 التحليل والنهج HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
عدد الطرق لاختيار عدد محدد من العناصر من مجموعة. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.