MM.1 · Coordinate operators, separated modes and stable updates

كتابة لابلاس لدالة شعاعية على شكل f″ يحذف حداً؛ ينتمي المؤثر للإحداثيات وليس الرمز.

المتطلبات المسبقة: الجبر، والتفاضل ومركبات المتجهات.

• استخدم التباعد واللابلاس في نظام الإحداثيات الذي تحددته التماثل
• حل مسألة وضع حدودي منفصل بسيط للأوضاع
• تحقق من التقارب، والوحدات، واستقرار تحديث رقمي أصلي

اختر الإحداثيات بالتماثل قبل كتابة المؤثرات. بالنسبة لدالة شعاعية في الإحداثيات الكروية، ∇²f=f″+(2/r)f′، وتباعد مجال شعاعي A=A_r r̂ هو (1/r²)d(r²A_r)/dr. تحقق: A=k r̂/r² له تباعد (1/r²)dk/dr=0 بعيداً عن نقطة الأصل، وf=1/r يحقق ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 بعيداً عن نقطة الأصل. تنطبق الأشكال الديكارتية فقط على الاعتمادات الديكارتية.

فصل المتغيرات يحول مسألة وضع الحدودي إلى أوضاع عادية. لوتر مثبت من الطرفين، اكتب u=X(x)T(t)؛ يعطي معادلة الموجة X″/X=(1/c²)T″/T=−k²، ويفرض الثبات عند الأطراف X=sin(nπx/L)، وترددات مسموحة هي ω_n=nπc/L، f_n=nc/(2L). يجب أن كل وضع يحقق شروط الحدود قبل أي مجموع على الأوضاع.

تحديث أويلر الصريح لـ y′=−λy هو y_{n+1}=(1−λh)y_n، يكون محدوداً عندما |1−λh|≤1، أي 0<h≤2/λ for λ>0؛ يتطلب التناقص المقارن 0<h<2/λ. مع λ=10 /ثانية، يجب ألا تتجاوز h 0.2 ثانية؛ h=0.25 ثانية تضرب بـ −1.5 في كل خطوة وتتبعثر بإشارة متناوبة. الاستقرار خاصية للتكرار، وليس للحل الحقيقي.

تحقق من إجابة رقمية بثلاث طرق قبل الوثوق بها: وحدات كل حد (يجب أن يكون λh بلا أبعاد)، التقارب تحت التحسين (نصف h وقارن؛ خطأ أويلر الصريح من الرتبة الأولى)، وحالة حدية بإجابة دقيقة معروفة. بالنسبة لـ y′=−4y مع y0=8 وh=0.2، تعطي خمس خطوات 8×0.2⁵=0.00256 مقابل القيمة الدقيقة 8e^(−4)≈0.1465: مستقر لكن غير دقيق، لذا قم بالتحسين.

المجال الشعاعي الكروي له تباعد

بالنسبة لـ $A_r=Cr$، يعطي 3C، وليس C. تتطلب النهايات الثابتة للوتر $X(0)=X(L)=0$، وبالتالي $X_n=\sin(n\pi x/L)$ مع عدد صحيح موجب n. أويلر لـ $\dot y=-\lambda y$ يعطي $y_{n+1}=(1-\lambda h)y_n$. بالنسبة لـ h الموجب، يسمح الاستقرار المطلق المحدود بـ $h\leq2/\lambda$; يتطلب التلاشي إلى الصفر المتباينة الصارمة $0<h<2/\lambda$. عند النهاية العليا يتناوب الحل العددي دون تلاشي. لا يثبت الاستقرار الدقة.

تطبيق لابلاس الديكارتي على دالة شعاعية، أو جمع الأوضاع التي تخالف الشروط الحدية، أو اعتبار تشغيل يبدو محدوداً متقارباً دون تحسين الخطوة. طابق المشغل والحدود وشروط الاستقرار مع المشكلة الفعلية.

فصل المتغيرات: حل معادلة تفاضلية جزئية عن طريق كتابة المجهول كحاصل ضرب عوامل ذات متغير واحد.

شرط الاستقرار: قيد حجم الخطوة الذي يمنع تضخم الأخطاء في التكرار العددي.