QM.1 · Scattering, degeneracy and Pauli operators

يمكن لموجة كمومية الانعكاس من خطوة جهد تنازلية حتى لو لم يكن للجسيم الكلاسيكي نقطة انعطاف هناك.

المواضيع السابقة: 5.

• مطابقة الأمواج المنتشرة والتدفقات عبر تغييرات الجهد المنتهية
• عدّ الحالات المتكافئة للمذبذب المتناظر
• تقييم منتجات باولي والتمييز بين عدم التبادل والمساواة

لجهد ثابت V وطاقة E>V، تكون الحلول المكانية عوامل انتشارية exp(±ikx)، حيث k=sqrt[2m(E−V)]/$\hbar$. عند خطوات محدودة مع نفس كتلة الجسيم، تكون الدالة الموجية ومشتقتها الأولى متصلة. في مسألة تشتت بسقوط من اليسار وبدون شعاع قادم من اليمين، يحتوي الحل البعيد على اليمين فقط على العامل الانتشاري الأيمن Ae^(ikx). إذا عاد الحقل المحدود إلى جهد خارجي أصلي، فإن عدد الموجات الخارجي المنقول يساوي العدد الساقط، رغم اختلاف العدد الداخلي. تصف الحلول المتنا exponentially decay مناطق E<V، وليس كل حقل محبوس.

لانتقال من V1 إلى V2 مع كلا المنطقتين مسموحًا بهما كلاسيكيًا، اكتب سعة السقوط والانعكاس في المنطقة 1 وسعة النفاذ في المنطقة 2. تعطي الاتصال r=(k1−k2)/(k1+k2) و t=2k1/(k1+k2). احتمال الانعكاس هو R=|r|²؛ والنفاذ هو T=(k2/k1)|t|² لأن تيار الاحتمال يعتمد على عدد الموجات. إذن R+T=1 لانتقال غير خاسر. لا تضيف مربع السعة المنقولة الخام إلى R بدون عامل التيار. مع k2=3k1، يكون R=1/4 و T=3/4 رغم وجود انتقال هبوطي.

اهتزازي ثلاثي الأبعاد متماثل ينفصل إلى أوضاع x,y,z بأعداد صحيحة غير سالبة n_x,n_y,n_z. طاقته هي (N+3/2)$\hbar$ω، حيث N=n_x+n_y+n_z. لجسيم واحد قابل للتمييز وعزم مغزلي صفر، الانحلال المكاني هو عدد مثل هذه الثلاثيات: (N+1)(N+2)/2. هذا يحسب التوزيعات المختلفة، وليس فقط التقسيمات غير المرتبة. بالنسبة لـ N=2، الحالات الستة هي تبديلات (2,0,0) و(1,1,0). بالنسبة لـ N=3، الانحلال هو 10. قيود المغزيل الإضافية أو جسيمات متطابقة ستغير مسألة العد.

مصفوفات باولي هي σ_x=[[0,1],[1,0]]، σ_y=[[0,−i],[i,0]]، σ_z=[[1,0],[0,−1]]. كل منها مربع يساوي الوحدة. الضرب المباشر يعطي σ_xσ_y=iσ_z و σ_yσ_x=−iσ_z، لذا مصفوفات باولي المختلفة تتعاكس. الضرب الدوري x→y→z له i موجب؛ عكس الترتيب يغير الإشارة. المتطابقة العامة هي σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. ترتيب المصفوفة مهم: σ_xσ_z=−iσ_y، وليس iσ_y أو ببساطة σ_y. تصبح هذه المصفوفات اللامعدنية مؤثرات مغزلية S_i=$\hbar$σ_i/2، مضافة وحدات فيزيائية ومعاملات.

عند خطوة جهد منتهية، طابق الدالة الموجية والمشتق لنفس كتلة الجسيم.

احتمال النفاذ يستخدم التيار، ليس السعة وحدها. لـ $k_2=3k_1$، $r=-1/2$، $t=1/2$. يحدث الانعكاس حتى لخطوة هابطة. تختفي إشارة طور الانعكاس عند حساب الاحتمال.

احتمالية النقل تحتاج إلى نسبة تيار رقم الموجة. انحدار الاهتزاز يحسب triples الأوضاع المرتبة. لا عكس ترتيب مصفوفات باولي دون تغيير إشارتها.

معامل الانعكاس: كسر تيار الاحتمال المنعكس نسبةً للتيار الساقط.

الانحلال: عدد الحالات المستقلة التي تشترك في نفس الطاقة المحددة.